Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59028 / 81572
↖ ↑ ↗
← S 40.254377°
W 17.874756°		 ← 233.05 m → S 40.254377°
W 17.872010°		 →
↑
233.05 m
↓
↑
233.05 m
↓
S 40.256472°
W 17.874756°		 ← 233.04 m →
54 311 m²		 S 40.256472°
W 17.872010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450351715087891 y=0.622348785400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450351715087891 × 217)
    floor (0.450351715087891 × 131072)
    floor (59028.5)     		tx = 59028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622348785400391 × 217)
    floor (0.622348785400391 × 131072)
    floor (81572.5)     		ty = 81572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59028 / 81572 ti = "17/59028/81572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59028/81572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59028 ÷ 217
    59028 ÷ 131072     		x = 0.450347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81572 ÷ 217
    81572 ÷ 131072     		y = 0.622344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.09930419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31197334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.24468994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.76871612230722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31197334} λ = -0.31197334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76871612230722))-π/2
    2×atan(0.463607902226388)-π/2
    2×0.434112458369432-π/2
    0.868224916738865-1.57079632675     		φ = -0.70257141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31197334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.874756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70257141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.254377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59028 KachelY 81572 -0.31197334 -0.70257141 -17.874756 -40.254377
    Oben rechts KachelX + 1 59029 KachelY 81572 -0.31192541 -0.70257141 -17.872010 -40.254377
    Unten links KachelX 59028 KachelY + 1 81573 -0.31197334 -0.70260799 -17.874756 -40.256472
    Unten rechts KachelX + 1 59029 KachelY + 1 81573 -0.31192541 -0.70260799 -17.872010 -40.256472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70257141--0.70260799) × R
    3.65799999999528e-05 × 6371000     		dl = 233.051179999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70257141--0.70260799) × R
    3.65799999999528e-05 × 6371000     		dr = 233.051179999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31197334--0.31192541) × cos(-0.70257141) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.763183112682898 × 6371000     		do = 233.047144550441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31197334--0.31192541) × cos(-0.70260799) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.763159474824564 × 6371000     		du = 233.039926446036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70257141)-sin(-0.70260799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763183112682898-0.763159474824564)×R²
    abs(-0.31192541--0.31197334)×2.36378583334806e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36378583334806e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36378583334806e-05×40589641000000     		ar = 54311.0709450646m²