Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59027 / 81619
↖ ↑ ↗
← S 40.352824°
W 17.877502°		 ← 232.76 m → S 40.352824°
W 17.874756°		 →
↑
232.73 m
↓
↑
232.73 m
↓
S 40.354917°
W 17.877502°		 ← 232.75 m →
54 169 m²		 S 40.354917°
W 17.874756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450344085693359 y=0.622707366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450344085693359 × 217)
    floor (0.450344085693359 × 131072)
    floor (59027.5)     		tx = 59027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622707366943359 × 217)
    floor (0.622707366943359 × 131072)
    floor (81619.5)     		ty = 81619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59027 / 81619 ti = "17/59027/81619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59027/81619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59027 ÷ 217
    59027 ÷ 131072     		x = 0.450340270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81619 ÷ 217
    81619 ÷ 131072     		y = 0.622703552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450340270996094 × 2 - 1) × π
    -0.0993194580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31202128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622703552246094 × 2 - 1) × π
    -0.245407104492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.770969156589363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31202128} λ = -0.31202128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770969156589363))-π/2
    2×atan(0.462564553520751)-π/2
    2×0.4332533454649-π/2
    0.8665066909298-1.57079632675     		φ = -0.70428964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31202128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.877502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70428964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.352824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59027 KachelY 81619 -0.31202128 -0.70428964 -17.877502 -40.352824
    Oben rechts KachelX + 1 59028 KachelY 81619 -0.31197334 -0.70428964 -17.874756 -40.352824
    Unten links KachelX 59027 KachelY + 1 81620 -0.31202128 -0.70432617 -17.877502 -40.354917
    Unten rechts KachelX + 1 59028 KachelY + 1 81620 -0.31197334 -0.70432617 -17.874756 -40.354917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70428964--0.70432617) × R
    3.65299999999236e-05 × 6371000     		dl = 232.732629999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70428964--0.70432617) × R
    3.65299999999236e-05 × 6371000     		dr = 232.732629999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31202128--0.31197334) × cos(-0.70428964) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762071696875595 × 6371000     		do = 232.756311951401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31202128--0.31197334) × cos(-0.70432617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76204804346071 × 6371000     		du = 232.749087589656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70428964)-sin(-0.70432617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762071696875595-0.76204804346071)×R²
    abs(-0.31197334--0.31202128)×2.36534148848611e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36534148848611e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36534148848611e-05×40589641000000     		ar = 54169.1479631494m²