Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59026 / 81617
↖ ↑ ↗
← S 40.348637°
W 17.880249°		 ← 232.77 m → S 40.348637°
W 17.877502°		 →
↑
232.73 m
↓
↑
232.73 m
↓
S 40.350730°
W 17.880249°		 ← 232.76 m →
54 173 m²		 S 40.350730°
W 17.877502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450336456298828 y=0.622692108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450336456298828 × 217)
    floor (0.450336456298828 × 131072)
    floor (59026.5)     		tx = 59026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622692108154297 × 217)
    floor (0.622692108154297 × 131072)
    floor (81617.5)     		ty = 81617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59026 / 81617 ti = "17/59026/81617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59026/81617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59026 ÷ 217
    59026 ÷ 131072     		x = 0.450332641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81617 ÷ 217
    81617 ÷ 131072     		y = 0.622688293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450332641601562 × 2 - 1) × π
    -0.099334716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31206922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622688293457031 × 2 - 1) × π
    -0.245376586914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.770873282790123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31206922} λ = -0.31206922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770873282790123))-π/2
    2×atan(0.462608903467856)-π/2
    2×0.433289877953345-π/2
    0.86657975590669-1.57079632675     		φ = -0.70421657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31206922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.880249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70421657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.348637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59026 KachelY 81617 -0.31206922 -0.70421657 -17.880249 -40.348637
    Oben rechts KachelX + 1 59027 KachelY 81617 -0.31202128 -0.70421657 -17.877502 -40.348637
    Unten links KachelX 59026 KachelY + 1 81618 -0.31206922 -0.70425310 -17.880249 -40.350730
    Unten rechts KachelX + 1 59027 KachelY + 1 81618 -0.31202128 -0.70425310 -17.877502 -40.350730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70421657--0.70425310) × R
    3.65299999999236e-05 × 6371000     		dl = 232.732629999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70421657--0.70425310) × R
    3.65299999999236e-05 × 6371000     		dr = 232.732629999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31206922--0.31202128) × cos(-0.70421657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.762119007128884 × 6371000     		do = 232.770761720252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31206922--0.31202128) × cos(-0.70425310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.762095355748188 × 6371000     		du = 232.763537979801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70421657)-sin(-0.70425310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762119007128884-0.762095355748188)×R²
    abs(-0.31202128--0.31206922)×2.36513806957106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36513806957106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36513806957106e-05×40589641000000     		ar = 54172.510968004m²