Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59026 / 45434
↖ ↑ ↗
← N 48.235650°
W 17.880249°		 ← 203.43 m → N 48.235650°
W 17.877502°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
N 48.233821°
W 17.880249°		 ← 203.44 m →
41 385 m²		 N 48.233821°
W 17.877502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450336456298828 y=0.346637725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450336456298828 × 217)
    floor (0.450336456298828 × 131072)
    floor (59026.5)     		tx = 59026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346637725830078 × 217)
    floor (0.346637725830078 × 131072)
    floor (45434.5)     		ty = 45434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59026 / 45434 ti = "17/59026/45434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59026/45434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59026 ÷ 217
    59026 ÷ 131072     		x = 0.450332641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45434 ÷ 217
    45434 ÷ 131072     		y = 0.346633911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450332641601562 × 2 - 1) × π
    -0.099334716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31206922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346633911132812 × 2 - 1) × π
    0.306732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.963627556162369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31206922} λ = -0.31206922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963627556162369))-π/2
    2×atan(2.62118775372759)-π/2
    2×1.20633362065472-π/2
    2.41266724130943-1.57079632675     		φ = 0.84187091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31206922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.880249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84187091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.235650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59026 KachelY 45434 -0.31206922 0.84187091 -17.880249 48.235650
    Oben rechts KachelX + 1 59027 KachelY 45434 -0.31202128 0.84187091 -17.877502 48.235650
    Unten links KachelX 59026 KachelY + 1 45435 -0.31206922 0.84183898 -17.880249 48.233821
    Unten rechts KachelX + 1 59027 KachelY + 1 45435 -0.31202128 0.84183898 -17.877502 48.233821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84187091-0.84183898) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84187091-0.84183898) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31206922--0.31202128) × cos(0.84187091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.666068498233336 × 6371000     		do = 203.434463963472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31206922--0.31202128) × cos(0.84183898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.666092314179979 × 6371000     		du = 203.441737966599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84187091)-sin(0.84183898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666068498233336-0.666092314179979)×R²
    abs(-0.31202128--0.31206922)×2.38159466428023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38159466428023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38159466428023e-05×40589641000000     		ar = 41384.6052336116m²