Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59024 / 85392
↖ ↑ ↗
← S 47.783634°
W 17.885742°		 ← 205.23 m → S 47.783634°
W 17.882995°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
S 47.785480°
W 17.885742°		 ← 205.22 m →
42 114 m²		 S 47.785480°
W 17.882995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450321197509766 y=0.651493072509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450321197509766 × 217)
    floor (0.450321197509766 × 131072)
    floor (59024.5)     		tx = 59024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651493072509766 × 217)
    floor (0.651493072509766 × 131072)
    floor (85392.5)     		ty = 85392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59024 / 85392 ti = "17/59024/85392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59024/85392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59024 ÷ 217
    59024 ÷ 131072     		x = 0.4503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85392 ÷ 217
    85392 ÷ 131072     		y = 0.6514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31216509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.951835078855835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31216509} λ = -0.31216509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951835078855835))-π/2
    2×atan(0.386031973959522)-π/2
    2×0.368407286928912-π/2
    0.736814573857824-1.57079632675     		φ = -0.83398175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31216509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.885742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83398175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.783634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59024 KachelY 85392 -0.31216509 -0.83398175 -17.885742 -47.783634
    Oben rechts KachelX + 1 59025 KachelY 85392 -0.31211715 -0.83398175 -17.882995 -47.783634
    Unten links KachelX 59024 KachelY + 1 85393 -0.31216509 -0.83401396 -17.885742 -47.785480
    Unten rechts KachelX + 1 59025 KachelY + 1 85393 -0.31211715 -0.83401396 -17.882995 -47.785480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83398175--0.83401396) × R
    3.2210000000088e-05 × 6371000     		dl = 205.209910000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83398175--0.83401396) × R
    3.2210000000088e-05 × 6371000     		dr = 205.209910000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31216509--0.31211715) × cos(-0.83398175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671932159752895 × 6371000     		do = 205.225377122192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31216509--0.31211715) × cos(-0.83401396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671908304269244 × 6371000     		du = 205.218091043445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83398175)-sin(-0.83401396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671932159752895-0.671908304269244)×R²
    abs(-0.31211715--0.31216509)×2.38554836504701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38554836504701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38554836504701e-05×40589641000000     		ar = 42113.5335848021m²