Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5902 / 6911
↖ ↑ ↗
← N 27.078691°
W 50.317383°		 ← 2 175.39 m → N 27.078691°
W 50.295410°		 →
↑
2 175.57 m
↓
↑
2 175.57 m
↓
N 27.059126°
W 50.317383°		 ← 2 175.77 m →
4 733 135 m²		 N 27.059126°
W 50.295410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360260009765625 y=0.421844482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360260009765625 × 214)
    floor (0.360260009765625 × 16384)
    floor (5902.5)     		tx = 5902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421844482421875 × 214)
    floor (0.421844482421875 × 16384)
    floor (6911.5)     		ty = 6911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5902 / 6911 ti = "14/5902/6911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5902/6911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5902 ÷ 214
    5902 ÷ 16384     		x = 0.3602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6911 ÷ 214
    6911 ÷ 16384     		y = 0.42181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87820400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42181396484375 × 2 - 1) × π
    0.1563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.491257347306335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87820400} λ = -0.87820400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491257347306335))-π/2
    2×atan(1.63436989918109)-π/2
    2×1.02170432575648-π/2
    2.04340865151296-1.57079632675     		φ = 0.47261232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87820400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47261232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.078691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5902 KachelY 6911 -0.87820400 0.47261232 -50.317383 27.078691
    Oben rechts KachelX + 1 5903 KachelY 6911 -0.87782051 0.47261232 -50.295410 27.078691
    Unten links KachelX 5902 KachelY + 1 6912 -0.87820400 0.47227084 -50.317383 27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 5903 KachelY + 1 6912 -0.87782051 0.47227084 -50.295410 27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47261232-0.47227084) × R
    0.00034147999999995 × 6371000     		dl = 2175.56907999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47261232-0.47227084) × R
    0.00034147999999995 × 6371000     		dr = 2175.56907999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87820400--0.87782051) × cos(0.47261232) × R
    0.000383489999999931 × 0.890382163514449 × 6371000     		do = 2175.39487065031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87820400--0.87782051) × cos(0.47227084) × R
    0.000383489999999931 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 2175.77453277143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47261232)-sin(0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890382163514449-0.890537558006442)×R²
    abs(-0.87782051--0.87820400)×0.000155394491993199×R²
    0.000383489999999931×0.000155394491993199×6371000²
    0.000383489999999931×0.000155394491993199×40589641000000     		ar = 4733134.85395657m²