Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59019 / 81616
↖ ↑ ↗
← S 40.346544°
W 17.899475°		 ← 232.73 m → S 40.346544°
W 17.896729°		 →
↑
232.73 m
↓
↑
232.73 m
↓
S 40.348637°
W 17.899475°		 ← 232.72 m →
54 163 m²		 S 40.348637°
W 17.896729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450283050537109 y=0.622684478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450283050537109 × 217)
    floor (0.450283050537109 × 131072)
    floor (59019.5)     		tx = 59019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622684478759766 × 217)
    floor (0.622684478759766 × 131072)
    floor (81616.5)     		ty = 81616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59019 / 81616 ti = "17/59019/81616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59019/81616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59019 ÷ 217
    59019 ÷ 131072     		x = 0.450279235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81616 ÷ 217
    81616 ÷ 131072     		y = 0.6226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450279235839844 × 2 - 1) × π
    -0.0994415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31240477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.770825345890503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31240477} λ = -0.31240477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770825345890503))-π/2
    2×atan(0.462631080035959)-π/2
    2×0.433308145047967-π/2
    0.866616290095934-1.57079632675     		φ = -0.70418004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31240477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.899475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70418004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.346544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59019 KachelY 81616 -0.31240477 -0.70418004 -17.899475 -40.346544
    Oben rechts KachelX + 1 59020 KachelY 81616 -0.31235684 -0.70418004 -17.896729 -40.346544
    Unten links KachelX 59019 KachelY + 1 81617 -0.31240477 -0.70421657 -17.899475 -40.348637
    Unten rechts KachelX + 1 59020 KachelY + 1 81617 -0.31235684 -0.70421657 -17.896729 -40.348637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70418004--0.70421657) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dl = 232.73263000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70418004--0.70421657) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dr = 232.73263000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31240477--0.31235684) × cos(-0.70418004) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.762142657492576 × 6371000     		do = 232.729429041401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31240477--0.31235684) × cos(-0.70421657) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.762119007128884 × 6371000     		du = 232.722207118333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70418004)-sin(-0.70421657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762142657492576-0.762119007128884)×R²
    abs(-0.31235684--0.31240477)×2.36503636928953e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36503636928953e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36503636928953e-05×40589641000000     		ar = 54162.8917168274m²