Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59018 / 81554
↖ ↑ ↗
← S 40.216635°
W 17.902222°		 ← 233.23 m → S 40.216635°
W 17.899475°		 →
↑
233.24 m
↓
↑
233.24 m
↓
S 40.218733°
W 17.902222°		 ← 233.22 m →
54 397 m²		 S 40.218733°
W 17.899475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450275421142578 y=0.622211456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450275421142578 × 217)
    floor (0.450275421142578 × 131072)
    floor (59018.5)     		tx = 59018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622211456298828 × 217)
    floor (0.622211456298828 × 131072)
    floor (81554.5)     		ty = 81554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59018 / 81554 ti = "17/59018/81554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59018/81554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59018 ÷ 217
    59018 ÷ 131072     		x = 0.450271606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81554 ÷ 217
    81554 ÷ 131072     		y = 0.622207641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450271606445312 × 2 - 1) × π
    -0.099456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31245271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622207641601562 × 2 - 1) × π
    -0.244415283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.767853258114059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31245271} λ = -0.31245271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767853258114059))-π/2
    2×atan(0.464008105520602)-π/2
    2×0.434441811845862-π/2
    0.868883623691724-1.57079632675     		φ = -0.70191270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31245271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.902222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70191270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.216635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59018 KachelY 81554 -0.31245271 -0.70191270 -17.902222 -40.216635
    Oben rechts KachelX + 1 59019 KachelY 81554 -0.31240477 -0.70191270 -17.899475 -40.216635
    Unten links KachelX 59018 KachelY + 1 81555 -0.31245271 -0.70194931 -17.902222 -40.218733
    Unten rechts KachelX + 1 59019 KachelY + 1 81555 -0.31240477 -0.70194931 -17.899475 -40.218733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70191270--0.70194931) × R
    3.66100000001035e-05 × 6371000     		dl = 233.242310000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70191270--0.70194931) × R
    3.66100000001035e-05 × 6371000     		dr = 233.242310000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31245271--0.31240477) × cos(-0.70191270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763608593808379 × 6371000     		do = 233.225719834401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31245271--0.31240477) × cos(-0.70194931) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763584954973031 × 6371000     		du = 233.218499925622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70191270)-sin(-0.70194931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763608593808379-0.763584954973031)×R²
    abs(-0.31240477--0.31245271)×2.36388353483941e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36388353483941e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36388353483941e-05×40589641000000     		ar = 54397.2636577471m²