Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59014 / 39550
↖ ↑ ↗
← N 57.894417°
W 17.913208°		 ← 162.33 m → N 57.894417°
W 17.910461°		 →
↑
162.27 m
↓
↑
162.27 m
↓
N 57.892957°
W 17.913208°		 ← 162.33 m →
26 341 m²		 N 57.892957°
W 17.910461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450244903564453 y=0.301746368408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450244903564453 × 217)
    floor (0.450244903564453 × 131072)
    floor (59014.5)     		tx = 59014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301746368408203 × 217)
    floor (0.301746368408203 × 131072)
    floor (39550.5)     		ty = 39550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59014 / 39550 ti = "17/59014/39550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59014/39550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59014 ÷ 217
    59014 ÷ 131072     		x = 0.450241088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39550 ÷ 217
    39550 ÷ 131072     		y = 0.301742553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450241088867188 × 2 - 1) × π
    -0.099517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31264446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301742553710938 × 2 - 1) × π
    0.396514892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24568827352678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31264446} λ = -0.31264446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24568827352678))-π/2
    2×atan(3.47532595120831)-π/2
    2×1.29062226083694-π/2
    2.58124452167388-1.57079632675     		φ = 1.01044819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31264446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.913208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01044819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.894417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59014 KachelY 39550 -0.31264446 1.01044819 -17.913208 57.894417
    Oben rechts KachelX + 1 59015 KachelY 39550 -0.31259652 1.01044819 -17.910461 57.894417
    Unten links KachelX 59014 KachelY + 1 39551 -0.31264446 1.01042272 -17.913208 57.892957
    Unten rechts KachelX + 1 59015 KachelY + 1 39551 -0.31259652 1.01042272 -17.910461 57.892957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01044819-1.01042272) × R
    2.54699999999719e-05 × 6371000     		dl = 162.269369999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01044819-1.01042272) × R
    2.54699999999719e-05 × 6371000     		dr = 162.269369999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31264446--0.31259652) × cos(1.01044819) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.531481126404055 × 6371000     		do = 162.328016328074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31264446--0.31259652) × cos(1.01042272) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.53150270110798 × 6371000     		du = 162.334605797985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01044819)-sin(1.01042272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531481126404055-0.53150270110798)×R²
    abs(-0.31259652--0.31264446)×2.15747039246095e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15747039246095e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15747039246095e-05×40589641000000     		ar = 26341.39957882m²