Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59012 / 39557
↖ ↑ ↗
← N 57.884197°
W 17.918701°		 ← 162.34 m → N 57.884197°
W 17.915955°		 →
↑
162.40 m
↓
↑
162.40 m
↓
N 57.882737°
W 17.918701°		 ← 162.35 m →
26 364 m²		 N 57.882737°
W 17.915955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450229644775391 y=0.301799774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450229644775391 × 217)
    floor (0.450229644775391 × 131072)
    floor (59012.5)     		tx = 59012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301799774169922 × 217)
    floor (0.301799774169922 × 131072)
    floor (39557.5)     		ty = 39557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59012 / 39557 ti = "17/59012/39557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59012/39557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59012 ÷ 217
    59012 ÷ 131072     		x = 0.450225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39557 ÷ 217
    39557 ÷ 131072     		y = 0.301795959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450225830078125 × 2 - 1) × π
    -0.09954833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31274033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301795959472656 × 2 - 1) × π
    0.396408081054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.24535271522944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31274033} λ = -0.31274033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24535271522944))-π/2
    2×atan(3.47415997238729)-π/2
    2×1.29053307671287-π/2
    2.58106615342575-1.57079632675     		φ = 1.01026983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31274033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.918701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01026983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.884197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59012 KachelY 39557 -0.31274033 1.01026983 -17.918701 57.884197
    Oben rechts KachelX + 1 59013 KachelY 39557 -0.31269240 1.01026983 -17.915955 57.884197
    Unten links KachelX 59012 KachelY + 1 39558 -0.31274033 1.01024434 -17.918701 57.882737
    Unten rechts KachelX + 1 59013 KachelY + 1 39558 -0.31269240 1.01024434 -17.915955 57.882737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01026983-1.01024434) × R
    2.54899999998504e-05 × 6371000     		dl = 162.396789999047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01026983-1.01024434) × R
    2.54899999998504e-05 × 6371000     		dr = 162.396789999047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31274033--0.31269240) × cos(1.01026983) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.531632201378577 × 6371000     		do = 162.34028822643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31274033--0.31269240) × cos(1.01024434) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.531653790606917 × 6371000     		du = 162.346880757022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01026983)-sin(1.01024434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531632201378577-0.531653790606917)×R²
    abs(-0.31269240--0.31274033)×2.15892283399466e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15892283399466e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15892283399466e-05×40589641000000     		ar = 26364.0769998401m²