Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59011 / 81541
↖ ↑ ↗
← S 40.189365°
W 17.921448°		 ← 233.32 m → S 40.189365°
W 17.918701°		 →
↑
233.31 m
↓
↑
233.31 m
↓
S 40.191463°
W 17.921448°		 ← 233.31 m →
54 434 m²		 S 40.191463°
W 17.918701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450222015380859 y=0.622112274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450222015380859 × 217)
    floor (0.450222015380859 × 131072)
    floor (59011.5)     		tx = 59011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622112274169922 × 217)
    floor (0.622112274169922 × 131072)
    floor (81541.5)     		ty = 81541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59011 / 81541 ti = "17/59011/81541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59011/81541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59011 ÷ 217
    59011 ÷ 131072     		x = 0.450218200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81541 ÷ 217
    81541 ÷ 131072     		y = 0.622108459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450218200683594 × 2 - 1) × π
    -0.0995635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31278827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622108459472656 × 2 - 1) × π
    -0.244216918945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.767230078418999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31278827} λ = -0.31278827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767230078418999))-π/2
    2×atan(0.464297356068479)-π/2
    2×0.434679792396991-π/2
    0.869359584793983-1.57079632675     		φ = -0.70143674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31278827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.921448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70143674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.189365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59011 KachelY 81541 -0.31278827 -0.70143674 -17.921448 -40.189365
    Oben rechts KachelX + 1 59012 KachelY 81541 -0.31274033 -0.70143674 -17.918701 -40.189365
    Unten links KachelX 59011 KachelY + 1 81542 -0.31278827 -0.70147336 -17.921448 -40.191463
    Unten rechts KachelX + 1 59012 KachelY + 1 81542 -0.31274033 -0.70147336 -17.918701 -40.191463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70143674--0.70147336) × R
    3.66200000000427e-05 × 6371000     		dl = 233.306020000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70143674--0.70147336) × R
    3.66200000000427e-05 × 6371000     		dr = 233.306020000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31278827--0.31274033) × cos(-0.70143674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763915824881125 × 6371000     		do = 233.319556111875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31278827--0.31274033) × cos(-0.70147336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763892192900609 × 6371000     		du = 233.312338296738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70143674)-sin(-0.70147336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763915824881125-0.763892192900609)×R²
    abs(-0.31274033--0.31278827)×2.36319805159146e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36319805159146e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36319805159146e-05×40589641000000     		ar = 54434.0150510635m²