Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59010 / 45438
↖ ↑ ↗
← N 48.228332°
W 17.924195°		 ← 203.46 m → N 48.228332°
W 17.921448°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
N 48.226502°
W 17.924195°		 ← 203.47 m →
41 403 m²		 N 48.226502°
W 17.921448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450214385986328 y=0.346668243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450214385986328 × 217)
    floor (0.450214385986328 × 131072)
    floor (59010.5)     		tx = 59010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346668243408203 × 217)
    floor (0.346668243408203 × 131072)
    floor (45438.5)     		ty = 45438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59010 / 45438 ti = "17/59010/45438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59010/45438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59010 ÷ 217
    59010 ÷ 131072     		x = 0.450210571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45438 ÷ 217
    45438 ÷ 131072     		y = 0.346664428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450210571289062 × 2 - 1) × π
    -0.099578857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31283621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346664428710938 × 2 - 1) × π
    0.306671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.963435808563889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31283621} λ = -0.31283621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963435808563889))-π/2
    2×atan(2.62068519545436)-π/2
    2×1.20626975757091-π/2
    2.41253951514181-1.57079632675     		φ = 0.84174319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31283621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.924195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84174319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.228332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59010 KachelY 45438 -0.31283621 0.84174319 -17.924195 48.228332
    Oben rechts KachelX + 1 59011 KachelY 45438 -0.31278827 0.84174319 -17.921448 48.228332
    Unten links KachelX 59010 KachelY + 1 45439 -0.31283621 0.84171125 -17.924195 48.226502
    Unten rechts KachelX + 1 59011 KachelY + 1 45439 -0.31278827 0.84171125 -17.921448 48.226502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84174319-0.84171125) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dl = 203.489739999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84174319-0.84171125) × R
    3.19399999999526e-05 × 6371000     		dr = 203.489739999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31283621--0.31278827) × cos(0.84174319) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.666163757945224 × 6371000     		do = 203.463558731703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31283621--0.31278827) × cos(0.84171125) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.666187578633173 × 6371000     		du = 203.470834182947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84174319)-sin(0.84171125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666163757945224-0.666187578633173)×R²
    abs(-0.31278827--0.31283621)×2.38206879485947e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38206879485947e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38206879485947e-05×40589641000000     		ar = 41403.486909273m²