Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59008 / 81538
↖ ↑ ↗
← S 40.183070°
W 17.929687°		 ← 233.34 m → S 40.183070°
W 17.926941°		 →
↑
233.31 m
↓
↑
233.31 m
↓
S 40.185168°
W 17.929687°		 ← 233.33 m →
54 439 m²		 S 40.185168°
W 17.926941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450199127197266 y=0.622089385986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450199127197266 × 217)
    floor (0.450199127197266 × 131072)
    floor (59008.5)     		tx = 59008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622089385986328 × 217)
    floor (0.622089385986328 × 131072)
    floor (81538.5)     		ty = 81538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59008 / 81538 ti = "17/59008/81538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59008/81538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59008 ÷ 217
    59008 ÷ 131072     		x = 0.4501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81538 ÷ 217
    81538 ÷ 131072     		y = 0.622085571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4501953125 × 2 - 1) × π
    -0.099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31293208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622085571289062 × 2 - 1) × π
    -0.244171142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.767086267720139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31293208} λ = -0.31293208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767086267720139))-π/2
    2×atan(0.464364131797151)-π/2
    2×0.434734724580017-π/2
    0.869469449160033-1.57079632675     		φ = -0.70132688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31293208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.929687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70132688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.183070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59008 KachelY 81538 -0.31293208 -0.70132688 -17.929687 -40.183070
    Oben rechts KachelX + 1 59009 KachelY 81538 -0.31288414 -0.70132688 -17.926941 -40.183070
    Unten links KachelX 59008 KachelY + 1 81539 -0.31293208 -0.70136350 -17.929687 -40.185168
    Unten rechts KachelX + 1 59009 KachelY + 1 81539 -0.31288414 -0.70136350 -17.926941 -40.185168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70132688--0.70136350) × R
    3.66200000000427e-05 × 6371000     		dl = 233.306020000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70132688--0.70136350) × R
    3.66200000000427e-05 × 6371000     		dr = 233.306020000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31293208--0.31288414) × cos(-0.70132688) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763986714675967 × 6371000     		do = 233.341207680193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31293208--0.31288414) × cos(-0.70136350) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763963085768836 × 6371000     		du = 233.333990803747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70132688)-sin(-0.70136350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763986714675967-0.763963085768836)×R²
    abs(-0.31288414--0.31293208)×2.36289071315898e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36289071315898e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36289071315898e-05×40589641000000     		ar = 54439.0666016651m²