Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59003 / 81533
↖ ↑ ↗
← S 40.172578°
W 17.943421°		 ← 233.38 m → S 40.172578°
W 17.940674°		 →
↑
233.37 m
↓
↑
233.37 m
↓
S 40.174676°
W 17.943421°		 ← 233.37 m →
54 462 m²		 S 40.174676°
W 17.940674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450160980224609 y=0.622051239013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450160980224609 × 217)
    floor (0.450160980224609 × 131072)
    floor (59003.5)     		tx = 59003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622051239013672 × 217)
    floor (0.622051239013672 × 131072)
    floor (81533.5)     		ty = 81533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59003 / 81533 ti = "17/59003/81533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59003/81533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59003 ÷ 217
    59003 ÷ 131072     		x = 0.450157165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81533 ÷ 217
    81533 ÷ 131072     		y = 0.622047424316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450157165527344 × 2 - 1) × π
    -0.0996856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31317177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622047424316406 × 2 - 1) × π
    -0.244094848632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.766846583222038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31317177} λ = -0.31317177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766846583222038))-π/2
    2×atan(0.464475446020631)-π/2
    2×0.434826289545994-π/2
    0.869652579091987-1.57079632675     		φ = -0.70114375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31317177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.943421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70114375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.172578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59003 KachelY 81533 -0.31317177 -0.70114375 -17.943421 -40.172578
    Oben rechts KachelX + 1 59004 KachelY 81533 -0.31312383 -0.70114375 -17.940674 -40.172578
    Unten links KachelX 59003 KachelY + 1 81534 -0.31317177 -0.70118038 -17.943421 -40.174676
    Unten rechts KachelX + 1 59004 KachelY + 1 81534 -0.31312383 -0.70118038 -17.940674 -40.174676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70114375--0.70118038) × R
    3.6630000000093e-05 × 6371000     		dl = 233.369730000592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70114375--0.70118038) × R
    3.6630000000093e-05 × 6371000     		dr = 233.369730000592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31317177--0.31312383) × cos(-0.70114375) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.764104863195881 × 6371000     		do = 233.377293279318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31317177--0.31312383) × cos(-0.70118038) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76408123296133 × 6371000     		du = 233.370075997444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70114375)-sin(-0.70118038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764104863195881-0.76408123296133)×R²
    abs(-0.31312383--0.31317177)×2.36302345516526e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36302345516526e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36302345516526e-05×40589641000000     		ar = 54462.3537795695m²