Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59003 / 81515
↖ ↑ ↗
← S 40.134791°
W 17.943421°		 ← 233.51 m → S 40.134791°
W 17.940674°		 →
↑
233.43 m
↓
↑
233.43 m
↓
S 40.136890°
W 17.943421°		 ← 233.50 m →
54 508 m²		 S 40.136890°
W 17.940674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450160980224609 y=0.621913909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450160980224609 × 217)
    floor (0.450160980224609 × 131072)
    floor (59003.5)     		tx = 59003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621913909912109 × 217)
    floor (0.621913909912109 × 131072)
    floor (81515.5)     		ty = 81515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59003 / 81515 ti = "17/59003/81515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59003/81515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59003 ÷ 217
    59003 ÷ 131072     		x = 0.450157165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81515 ÷ 217
    81515 ÷ 131072     		y = 0.621910095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450157165527344 × 2 - 1) × π
    -0.0996856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31317177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621910095214844 × 2 - 1) × π
    -0.243820190429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.765983719028877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31317177} λ = -0.31317177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765983719028877))-π/2
    2×atan(0.464876398210371)-π/2
    2×0.435156040651518-π/2
    0.870312081303036-1.57079632675     		φ = -0.70048425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31317177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.943421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70048425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.134791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59003 KachelY 81515 -0.31317177 -0.70048425 -17.943421 -40.134791
    Oben rechts KachelX + 1 59004 KachelY 81515 -0.31312383 -0.70048425 -17.940674 -40.134791
    Unten links KachelX 59003 KachelY + 1 81516 -0.31317177 -0.70052089 -17.943421 -40.136890
    Unten rechts KachelX + 1 59004 KachelY + 1 81516 -0.31312383 -0.70052089 -17.940674 -40.136890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70048425--0.70052089) × R
    3.66399999999212e-05 × 6371000     		dl = 233.433439999498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70048425--0.70052089) × R
    3.66399999999212e-05 × 6371000     		dr = 233.433439999498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31317177--0.31312383) × cos(-0.70048425) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.764530135204632 × 6371000     		do = 233.507182297292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31317177--0.31312383) × cos(-0.70052089) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.764506516987625 × 6371000     		du = 233.499968685885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70048425)-sin(-0.70052089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764530135204632-0.764506516987625)×R²
    abs(-0.31312383--0.31317177)×2.36182170075816e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36182170075816e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36182170075816e-05×40589641000000     		ar = 54507.542885162m²