Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59000 / 45334
↖ ↑ ↗
← N 48.418264°
W 17.951660°		 ← 202.71 m → N 48.418264°
W 17.948914°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 48.416442°
W 17.951660°		 ← 202.71 m →
41 082 m²		 N 48.416442°
W 17.948914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450138092041016 y=0.345874786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450138092041016 × 217)
    floor (0.450138092041016 × 131072)
    floor (59000.5)     		tx = 59000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345874786376953 × 217)
    floor (0.345874786376953 × 131072)
    floor (45334.5)     		ty = 45334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59000 / 45334 ti = "17/59000/45334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59000/45334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59000 ÷ 217
    59000 ÷ 131072     		x = 0.45013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45334 ÷ 217
    45334 ÷ 131072     		y = 0.345870971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.0997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31331558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345870971679688 × 2 - 1) × π
    0.308258056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.968421246124374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31331558} λ = -0.31331558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968421246124374))-π/2
    2×atan(2.63378308007643)-π/2
    2×1.20792723015078-π/2
    2.41585446030156-1.57079632675     		φ = 0.84505813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31331558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.951660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84505813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.418264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59000 KachelY 45334 -0.31331558 0.84505813 -17.951660 48.418264
    Oben rechts KachelX + 1 59001 KachelY 45334 -0.31326764 0.84505813 -17.948914 48.418264
    Unten links KachelX 59000 KachelY + 1 45335 -0.31331558 0.84502632 -17.951660 48.416442
    Unten rechts KachelX + 1 59001 KachelY + 1 45335 -0.31326764 0.84502632 -17.948914 48.416442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84505813-0.84502632) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84505813-0.84502632) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31331558--0.31326764) × cos(0.84505813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663687801804759 × 6371000     		do = 202.707337995059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31331558--0.31326764) × cos(0.84502632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663711595657324 × 6371000     		du = 202.714605250086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84505813)-sin(0.84502632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663687801804759-0.663711595657324)×R²
    abs(-0.31326764--0.31331558)×2.37938525647907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37938525647907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37938525647907e-05×40589641000000     		ar = 41081.711606057m²