Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5900 / 6909
↖ ↑ ↗
← N 27.117813°
W 50.361328°		 ← 2 174.63 m → N 27.117813°
W 50.339356°		 →
↑
2 174.87 m
↓
↑
2 174.87 m
↓
N 27.098254°
W 50.361328°		 ← 2 175.02 m →
4 729 958 m²		 N 27.098254°
W 50.339356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360137939453125 y=0.421722412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360137939453125 × 214)
    floor (0.360137939453125 × 16384)
    floor (5900.5)     		tx = 5900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421722412109375 × 214)
    floor (0.421722412109375 × 16384)
    floor (6909.5)     		ty = 6909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5900 / 6909 ti = "14/5900/6909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5900/6909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5900 ÷ 214
    5900 ÷ 16384     		x = 0.360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6909 ÷ 214
    6909 ÷ 16384     		y = 0.42169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.27978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87897099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42169189453125 × 2 - 1) × π
    0.1566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.492024337700256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87897099} λ = -0.87897099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492024337700256))-π/2
    2×atan(1.63562392604568)-π/2
    2×1.02204572341024-π/2
    2.04409144682049-1.57079632675     		φ = 0.47329512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87897099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47329512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.117813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5900 KachelY 6909 -0.87897099 0.47329512 -50.361328 27.117813
    Oben rechts KachelX + 1 5901 KachelY 6909 -0.87858750 0.47329512 -50.339356 27.117813
    Unten links KachelX 5900 KachelY + 1 6910 -0.87897099 0.47295375 -50.361328 27.098254
    Unten rechts KachelX + 1 5901 KachelY + 1 6910 -0.87858750 0.47295375 -50.339356 27.098254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47329512-0.47295375) × R
    0.000341370000000008 × 6371000     		dl = 2174.86827000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47329512-0.47295375) × R
    0.000341370000000008 × 6371000     		dr = 2174.86827000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87897099--0.87858750) × cos(0.47329512) × R
    0.000383490000000042 × 0.890071136001445 × 6371000     		do = 2174.63496363107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87897099--0.87858750) × cos(0.47295375) × R
    0.000383490000000042 × 0.890226687972137 × 6371000     		du = 2175.01501050648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47329512)-sin(0.47295375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890071136001445-0.890226687972137)×R²
    abs(-0.87858750--0.87897099)×0.000155551970691947×R²
    0.000383490000000042×0.000155551970691947×6371000²
    0.000383490000000042×0.000155551970691947×40589641000000     		ar = 4729957.90311248m²