Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5900 / 6908
↖ ↑ ↗
← N 27.137368°
W 50.361328°		 ← 2 174.25 m → N 27.137368°
W 50.339356°		 →
↑
2 174.49 m
↓
↑
2 174.49 m
↓
N 27.117813°
W 50.361328°		 ← 2 174.63 m →
4 728 300 m²		 N 27.117813°
W 50.339356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360137939453125 y=0.421661376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360137939453125 × 214)
    floor (0.360137939453125 × 16384)
    floor (5900.5)     		tx = 5900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421661376953125 × 214)
    floor (0.421661376953125 × 16384)
    floor (6908.5)     		ty = 6908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5900 / 6908 ti = "14/5900/6908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5900/6908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5900 ÷ 214
    5900 ÷ 16384     		x = 0.360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6908 ÷ 214
    6908 ÷ 16384     		y = 0.421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.27978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87897099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421630859375 × 2 - 1) × π
    0.15673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.492407832897217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87897099} λ = -0.87897099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492407832897217))-π/2
    2×atan(1.63625130025516)-π/2
    2×1.02221637749367-π/2
    2.04443275498734-1.57079632675     		φ = 0.47363643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87897099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47363643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.137368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5900 KachelY 6908 -0.87897099 0.47363643 -50.361328 27.137368
    Oben rechts KachelX + 1 5901 KachelY 6908 -0.87858750 0.47363643 -50.339356 27.137368
    Unten links KachelX 5900 KachelY + 1 6909 -0.87897099 0.47329512 -50.361328 27.117813
    Unten rechts KachelX + 1 5901 KachelY + 1 6909 -0.87858750 0.47329512 -50.339356 27.117813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47363643-0.47329512) × R
    0.000341309999999984 × 6371000     		dl = 2174.4860099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47363643-0.47329512) × R
    0.000341309999999984 × 6371000     		dr = 2174.4860099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87897099--0.87858750) × cos(0.47363643) × R
    0.000383490000000042 × 0.889915507675197 × 6371000     		do = 2174.25473020264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87897099--0.87858750) × cos(0.47329512) × R
    0.000383490000000042 × 0.890071136001445 × 6371000     		du = 2174.63496363107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47363643)-sin(0.47329512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889915507675197-0.890071136001445)×R²
    abs(-0.87858750--0.87897099)×0.000155628326248825×R²
    0.000383490000000042×0.000155628326248825×6371000²
    0.000383490000000042×0.000155628326248825×40589641000000     		ar = 4728299.94503755m²