Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 590 / 442
↖ ↑ ↗
← N 23.885838°
E 27.421875°		 ← 35.744 km → N 23.885838°
E 27.773438°		 →
↑
35.788 km
↓
↑
35.788 km
↓
N 23.563987°
E 27.421875°		 ← 35.832 km →
1 280.79 km²		 N 23.563987°
E 27.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57666015625 y=0.43212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57666015625 × 210)
    floor (0.57666015625 × 1024)
    floor (590.5)     		tx = 590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43212890625 × 210)
    floor (0.43212890625 × 1024)
    floor (442.5)     		ty = 442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 590 / 442 ti = "10/590/442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/590/442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 590 ÷ 210
    590 ÷ 1024     		x = 0.576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 442 ÷ 210
    442 ÷ 1024     		y = 0.431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576171875 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431640625 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47860201} λ = 0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429514620595703))-π/2
    2×atan(1.53651155146164)-π/2
    2×0.993841419621626-π/2
    1.98768283924325-1.57079632675     		φ = 0.41688651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41688651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.885838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 590 KachelY 442 0.47860201 0.41688651 27.421875 23.885838
    Oben rechts KachelX + 1 591 KachelY 442 0.48473793 0.41688651 27.773438 23.885838
    Unten links KachelX 590 KachelY + 1 443 0.47860201 0.41126916 27.421875 23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 591 KachelY + 1 443 0.48473793 0.41126916 27.773438 23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41688651-0.41126916) × R
    0.00561734999999997 × 6371000     		dl = 35788.1368499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41688651-0.41126916) × R
    0.00561734999999997 × 6371000     		dr = 35788.1368499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47860201-0.48473793) × cos(0.41688651) × R
    0.00613591999999996 × 0.91435407069783 × 6371000     		do = 35743.8802491928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47860201-0.48473793) × cos(0.41126916) × R
    0.00613591999999996 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 35832.232528046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41688651)-sin(0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91435407069783-0.916614185303787)×R²
    abs(0.48473793-0.47860201)×0.00226011460595754×R²
    0.00613591999999996×0.00226011460595754×6371000²
    0.00613591999999996×0.00226011460595754×40589641000000     		ar = 1280791227.54001m²