Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 590 / 336
↖ ↑ ↗
← N 81.723188°
W128.144531°		 ← 1 406.88 m → N 81.723188°
W128.056641°		 →
↑
1 407.93 m
↓
↑
1 407.93 m
↓
N 81.710526°
W128.144531°		 ← 1 409.01 m →
1 982 286 m²		 N 81.710526°
W128.056641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1441650390625 y=0.0821533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1441650390625 × 212)
    floor (0.1441650390625 × 4096)
    floor (590.5)     		tx = 590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0821533203125 × 212)
    floor (0.0821533203125 × 4096)
    floor (336.5)     		ty = 336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 590 / 336 ti = "12/590/336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/590/336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 590 ÷ 212
    590 ÷ 4096     		x = 0.14404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 336 ÷ 212
    336 ÷ 4096     		y = 0.08203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23654399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08203125 × 2 - 1) × π
    0.8359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62617510878516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23654399} λ = -2.23654399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62617510878516))-π/2
    2×atan(13.8208055974377)-π/2
    2×1.49856751297347-π/2
    2.99713502594695-1.57079632675     		φ = 1.42633870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23654399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42633870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.723188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 590 KachelY 336 -2.23654399 1.42633870 -128.144531 81.723188
    Oben rechts KachelX + 1 591 KachelY 336 -2.23501001 1.42633870 -128.056641 81.723188
    Unten links KachelX 590 KachelY + 1 337 -2.23654399 1.42611771 -128.144531 81.710526
    Unten rechts KachelX + 1 591 KachelY + 1 337 -2.23501001 1.42611771 -128.056641 81.710526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42633870-1.42611771) × R
    0.000220990000000088 × 6371000     		dl = 1407.92729000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42633870-1.42611771) × R
    0.000220990000000088 × 6371000     		dr = 1407.92729000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23654399--2.23501001) × cos(1.42633870) × R
    0.00153398000000005 × 0.143955726994628 × 6371000     		do = 1406.87738803269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23654399--2.23501001) × cos(1.42611771) × R
    0.00153398000000005 × 0.144174411674396 × 6371000     		du = 1409.01459047331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42633870)-sin(1.42611771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143955726994628-0.144174411674396)×R²
    abs(-2.23501001--2.23654399)×0.000218684679768238×R²
    0.00153398000000005×0.000218684679768238×6371000²
    0.00153398000000005×0.000218684679768238×40589641000000     		ar = 1982285.58918257m²