Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 590 / 1614
↖ ↑ ↗
← S 71.413177°
W 76.289062°		 ← 6 230.11 m → S 71.413177°
W 76.113281°		 →
↑
6 221.03 m
↓
↑
6 221.03 m
↓
S 71.469124°
W 76.289062°		 ← 6 212.02 m →
38 701 401 m²		 S 71.469124°
W 76.113281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.288330078125 y=0.788330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.288330078125 × 211)
    floor (0.288330078125 × 2048)
    floor (590.5)     		tx = 590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788330078125 × 211)
    floor (0.788330078125 × 2048)
    floor (1614.5)     		ty = 1614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 590 / 1614 ti = "11/590/1614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/590/1614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 590 ÷ 211
    590 ÷ 2048     		x = 0.2880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1614 ÷ 211
    1614 ÷ 2048     		y = 0.7880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2880859375 × 2 - 1) × π
    -0.423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.33149532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7880859375 × 2 - 1) × π
    -0.576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81009732965332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33149532} λ = -1.33149532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81009732965332))-π/2
    2×atan(0.163638209177432)-π/2
    2×0.162200630874873-π/2
    0.324401261749747-1.57079632675     		φ = -1.24639507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33149532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.289062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24639507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.413177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 590 KachelY 1614 -1.33149532 -1.24639507 -76.289062 -71.413177
    Oben rechts KachelX + 1 591 KachelY 1614 -1.32842736 -1.24639507 -76.113281 -71.413177
    Unten links KachelX 590 KachelY + 1 1615 -1.33149532 -1.24737153 -76.289062 -71.469124
    Unten rechts KachelX + 1 591 KachelY + 1 1615 -1.32842736 -1.24737153 -76.113281 -71.469124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24639507--1.24737153) × R
    0.000976459999999957 × 6371000     		dl = 6221.02665999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24639507--1.24737153) × R
    0.000976459999999957 × 6371000     		dr = 6221.02665999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33149532--1.32842736) × cos(-1.24639507) × R
    0.00306795999999987 × 0.318741329222602 × 6371000     		do = 6230.10946596743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33149532--1.32842736) × cos(-1.24737153) × R
    0.00306795999999987 × 0.317815647867951 × 6371000     		du = 6212.01612305473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24639507)-sin(-1.24737153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318741329222602-0.317815647867951)×R²
    abs(-1.32842736--1.33149532)×0.000925681354650321×R²
    0.00306795999999987×0.000925681354650321×6371000²
    0.00306795999999987×0.000925681354650321×40589641000000     		ar = 38701400.5732546m²