Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58999 / 81553
↖ ↑ ↗
← S 40.214538°
W 17.954407°		 ← 233.18 m → S 40.214538°
W 17.951660°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 40.216635°
W 17.954407°		 ← 233.18 m →
54 373 m²		 S 40.216635°
W 17.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450130462646484 y=0.622203826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450130462646484 × 217)
    floor (0.450130462646484 × 131072)
    floor (58999.5)     		tx = 58999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622203826904297 × 217)
    floor (0.622203826904297 × 131072)
    floor (81553.5)     		ty = 81553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58999 / 81553 ti = "17/58999/81553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58999/81553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58999 ÷ 217
    58999 ÷ 131072     		x = 0.450126647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81553 ÷ 217
    81553 ÷ 131072     		y = 0.622200012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450126647949219 × 2 - 1) × π
    -0.0997467041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31336351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622200012207031 × 2 - 1) × π
    -0.244400024414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.767805321214439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31336351} λ = -0.31336351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767805321214439))-π/2
    2×atan(0.46403034916372)-π/2
    2×0.434460114643316-π/2
    0.868920229286633-1.57079632675     		φ = -0.70187610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31336351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.954407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70187610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.214538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58999 KachelY 81553 -0.31336351 -0.70187610 -17.954407 -40.214538
    Oben rechts KachelX + 1 59000 KachelY 81553 -0.31331558 -0.70187610 -17.951660 -40.214538
    Unten links KachelX 58999 KachelY + 1 81554 -0.31336351 -0.70191270 -17.954407 -40.216635
    Unten rechts KachelX + 1 59000 KachelY + 1 81554 -0.31331558 -0.70191270 -17.951660 -40.216635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70187610--0.70191270) × R
    3.65999999999422e-05 × 6371000     		dl = 233.178599999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70187610--0.70191270) × R
    3.65999999999422e-05 × 6371000     		dr = 233.178599999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31336351--0.31331558) × cos(-0.70187610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763632225163755 × 6371000     		do = 233.184286449564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31336351--0.31331558) × cos(-0.70191270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763608593808379 × 6371000     		du = 233.177070330915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70187610)-sin(-0.70191270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763632225163755-0.763608593808379)×R²
    abs(-0.31331558--0.31336351)×2.36313553750866e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36313553750866e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36313553750866e-05×40589641000000     		ar = 54372.7441401034m²