Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58995 / 81569
↖ ↑ ↗
← S 40.248088°
W 17.965393°		 ← 233.12 m → S 40.248088°
W 17.962646°		 →
↑
233.11 m
↓
↑
233.11 m
↓
S 40.250184°
W 17.965393°		 ← 233.11 m →
54 342 m²		 S 40.250184°
W 17.962646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450099945068359 y=0.622325897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450099945068359 × 217)
    floor (0.450099945068359 × 131072)
    floor (58995.5)     		tx = 58995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622325897216797 × 217)
    floor (0.622325897216797 × 131072)
    floor (81569.5)     		ty = 81569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58995 / 81569 ti = "17/58995/81569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58995/81569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58995 ÷ 217
    58995 ÷ 131072     		x = 0.450096130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81569 ÷ 217
    81569 ÷ 131072     		y = 0.622322082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450096130371094 × 2 - 1) × π
    -0.0998077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31355526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622322082519531 × 2 - 1) × π
    -0.244644165039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.76857231160836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31355526} λ = -0.31355526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76857231160836))-π/2
    2×atan(0.463674578797092)-π/2
    2×0.434167337867596-π/2
    0.868334675735191-1.57079632675     		φ = -0.70246165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31355526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.965393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70246165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.248088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58995 KachelY 81569 -0.31355526 -0.70246165 -17.965393 -40.248088
    Oben rechts KachelX + 1 58996 KachelY 81569 -0.31350732 -0.70246165 -17.962646 -40.248088
    Unten links KachelX 58995 KachelY + 1 81570 -0.31355526 -0.70249824 -17.965393 -40.250184
    Unten rechts KachelX + 1 58996 KachelY + 1 81570 -0.31350732 -0.70249824 -17.962646 -40.250184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70246165--0.70249824) × R
    3.6590000000003e-05 × 6371000     		dl = 233.114890000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70246165--0.70249824) × R
    3.6590000000003e-05 × 6371000     		dr = 233.114890000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31355526--0.31350732) × cos(-0.70246165) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763254033052467 × 6371000     		do = 233.117427853151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31355526--0.31350732) × cos(-0.70249824) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76323039179716 × 6371000     		du = 233.110207205255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70246165)-sin(-0.70249824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763254033052467-0.76323039179716)×R²
    abs(-0.31350732--0.31355526)×2.36412553068499e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36412553068499e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36412553068499e-05×40589641000000     		ar = 54342.3019368229m²