Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58995 / 45348
↖ ↑ ↗
← N 48.392738°
W 17.965393°		 ← 202.81 m → N 48.392738°
W 17.962646°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
N 48.390914°
W 17.965393°		 ← 202.82 m →
41 128 m²		 N 48.390914°
W 17.962646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450099945068359 y=0.345981597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450099945068359 × 217)
    floor (0.450099945068359 × 131072)
    floor (58995.5)     		tx = 58995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345981597900391 × 217)
    floor (0.345981597900391 × 131072)
    floor (45348.5)     		ty = 45348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58995 / 45348 ti = "17/58995/45348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58995/45348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58995 ÷ 217
    58995 ÷ 131072     		x = 0.450096130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45348 ÷ 217
    45348 ÷ 131072     		y = 0.345977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450096130371094 × 2 - 1) × π
    -0.0998077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31355526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345977783203125 × 2 - 1) × π
    0.30804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.967750129529694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31355526} λ = -0.31355526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967750129529694))-π/2
    2×atan(2.63201609753658)-π/2
    2×1.20770446830155-π/2
    2.4154089366031-1.57079632675     		φ = 0.84461261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31355526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.965393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84461261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.392738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58995 KachelY 45348 -0.31355526 0.84461261 -17.965393 48.392738
    Oben rechts KachelX + 1 58996 KachelY 45348 -0.31350732 0.84461261 -17.962646 48.392738
    Unten links KachelX 58995 KachelY + 1 45349 -0.31355526 0.84458078 -17.965393 48.390914
    Unten rechts KachelX + 1 58996 KachelY + 1 45349 -0.31350732 0.84458078 -17.962646 48.390914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84461261-0.84458078) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dl = 202.788929999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84461261-0.84458078) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dr = 202.788929999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31355526--0.31350732) × cos(0.84461261) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664020989205378 × 6371000     		do = 202.809102003686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31355526--0.31350732) × cos(0.84458078) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664044788603491 × 6371000     		du = 202.816370952467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84461261)-sin(0.84458078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664020989205378-0.664044788603491)×R²
    abs(-0.31350732--0.31355526)×2.37993981134776e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37993981134776e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37993981134776e-05×40589641000000     		ar = 41128.1778240271m²