Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58993 / 45346
↖ ↑ ↗
← N 48.396385°
W 17.970886°		 ← 202.75 m → N 48.396385°
W 17.968140°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
N 48.394562°
W 17.970886°		 ← 202.76 m →
41 117 m²		 N 48.394562°
W 17.968140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450084686279297 y=0.345966339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450084686279297 × 217)
    floor (0.450084686279297 × 131072)
    floor (58993.5)     		tx = 58993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345966339111328 × 217)
    floor (0.345966339111328 × 131072)
    floor (45346.5)     		ty = 45346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58993 / 45346 ti = "17/58993/45346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58993/45346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58993 ÷ 217
    58993 ÷ 131072     		x = 0.450080871582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45346 ÷ 217
    45346 ÷ 131072     		y = 0.345962524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450080871582031 × 2 - 1) × π
    -0.0998382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31365113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345962524414062 × 2 - 1) × π
    0.308074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.967846003328934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31365113} λ = -0.31365113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967846003328934))-π/2
    2×atan(2.63226845101636)-π/2
    2×1.20773629826814-π/2
    2.41547259653629-1.57079632675     		φ = 0.84467627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31365113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.970886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84467627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.396385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58993 KachelY 45346 -0.31365113 0.84467627 -17.970886 48.396385
    Oben rechts KachelX + 1 58994 KachelY 45346 -0.31360320 0.84467627 -17.968140 48.396385
    Unten links KachelX 58993 KachelY + 1 45347 -0.31365113 0.84464444 -17.970886 48.394562
    Unten rechts KachelX + 1 58994 KachelY + 1 45347 -0.31360320 0.84464444 -17.968140 48.394562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84467627-0.84464444) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dl = 202.788929999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84467627-0.84464444) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dr = 202.788929999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31365113--0.31360320) × cos(0.84467627) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663973388390918 × 6371000     		do = 202.752261744919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31365113--0.31360320) × cos(0.84464444) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663997189134512 × 6371000     		du = 202.759529588298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84467627)-sin(0.84464444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663973388390918-0.663997189134512)×R²
    abs(-0.31360320--0.31365113)×2.38007435936494e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38007435936494e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38007435936494e-05×40589641000000     		ar = 41116.6511369647m²