Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58993 / 30065
↖ ↑ ↗
← N 69.301823°
W 17.970886°		 ← 107.93 m → N 69.301823°
W 17.968140°		 →
↑
107.92 m
↓
↑
107.92 m
↓
N 69.300852°
W 17.970886°		 ← 107.93 m →
11 648 m²		 N 69.300852°
W 17.968140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450084686279297 y=0.229381561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450084686279297 × 217)
    floor (0.450084686279297 × 131072)
    floor (58993.5)     		tx = 58993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229381561279297 × 217)
    floor (0.229381561279297 × 131072)
    floor (30065.5)     		ty = 30065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58993 / 30065 ti = "17/58993/30065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58993/30065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58993 ÷ 217
    58993 ÷ 131072     		x = 0.450080871582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30065 ÷ 217
    30065 ÷ 131072     		y = 0.229377746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450080871582031 × 2 - 1) × π
    -0.0998382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31365113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229377746582031 × 2 - 1) × π
    0.541244506835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.70036976642301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31365113} λ = -0.31365113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70036976642301))-π/2
    2×atan(5.47597184793889)-π/2
    2×1.39017066083348-π/2
    2.78034132166696-1.57079632675     		φ = 1.20954499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31365113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.970886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20954499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.301823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58993 KachelY 30065 -0.31365113 1.20954499 -17.970886 69.301823
    Oben rechts KachelX + 1 58994 KachelY 30065 -0.31360320 1.20954499 -17.968140 69.301823
    Unten links KachelX 58993 KachelY + 1 30066 -0.31365113 1.20952805 -17.970886 69.300852
    Unten rechts KachelX + 1 58994 KachelY + 1 30066 -0.31360320 1.20952805 -17.968140 69.300852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20954499-1.20952805) × R
    1.69399999998543e-05 × 6371000     		dl = 107.924739999072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20954499-1.20952805) × R
    1.69399999998543e-05 × 6371000     		dr = 107.924739999072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31365113--0.31360320) × cos(1.20954499) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.353445079297981 × 6371000     		do = 107.928706907884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31365113--0.31360320) × cos(1.20952805) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.353460925859666 × 6371000     		du = 107.933545846128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20954499)-sin(1.20952805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353445079297981-0.353460925859666)×R²
    abs(-0.31360320--0.31365113)×1.58465616844627e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58465616844627e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58465616844627e-05×40589641000000     		ar = 11648.438752199m²