Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58993 / 27024
↖ ↑ ↗
← N 72.060381°
W 17.970886°		 ← 94.06 m → N 72.060381°
W 17.968140°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 72.059535°
W 17.970886°		 ← 94.06 m →
8 845 m²		 N 72.059535°
W 17.968140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450084686279297 y=0.206180572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450084686279297 × 217)
    floor (0.450084686279297 × 131072)
    floor (58993.5)     		tx = 58993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206180572509766 × 217)
    floor (0.206180572509766 × 131072)
    floor (27024.5)     		ty = 27024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58993 / 27024 ti = "17/58993/27024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58993/27024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58993 ÷ 217
    58993 ÷ 131072     		x = 0.450080871582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27024 ÷ 217
    27024 ÷ 131072     		y = 0.2061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450080871582031 × 2 - 1) × π
    -0.0998382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31365113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2061767578125 × 2 - 1) × π
    0.587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8461458781676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31365113} λ = -0.31365113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8461458781676))-π/2
    2×atan(6.33535517789548)-π/2
    2×1.41424361450221-π/2
    2.82848722900443-1.57079632675     		φ = 1.25769090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31365113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.970886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25769090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.060381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58993 KachelY 27024 -0.31365113 1.25769090 -17.970886 72.060381
    Oben rechts KachelX + 1 58994 KachelY 27024 -0.31360320 1.25769090 -17.968140 72.060381
    Unten links KachelX 58993 KachelY + 1 27025 -0.31365113 1.25767614 -17.970886 72.059535
    Unten rechts KachelX + 1 58994 KachelY + 1 27025 -0.31360320 1.25767614 -17.968140 72.059535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25769090-1.25767614) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25769090-1.25767614) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31365113--0.31360320) × cos(1.25769090) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.308014562933598 × 6371000     		do = 94.0559522069149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31365113--0.31360320) × cos(1.25767614) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.308028605293084 × 6371000     		du = 94.0602402103136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25769090)-sin(1.25767614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308014562933598-0.308028605293084)×R²
    abs(-0.31360320--0.31365113)×1.40423594859884e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.40423594859884e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.40423594859884e-05×40589641000000     		ar = 8844.84337293113m²