Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58991 / 81548
↖ ↑ ↗
← S 40.204050°
W 17.976380°		 ← 233.27 m → S 40.204050°
W 17.973633°		 →
↑
233.24 m
↓
↑
233.24 m
↓
S 40.206148°
W 17.976380°		 ← 233.26 m →
54 407 m²		 S 40.206148°
W 17.973633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450069427490234 y=0.622165679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450069427490234 × 217)
    floor (0.450069427490234 × 131072)
    floor (58991.5)     		tx = 58991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622165679931641 × 217)
    floor (0.622165679931641 × 131072)
    floor (81548.5)     		ty = 81548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58991 / 81548 ti = "17/58991/81548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58991/81548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58991 ÷ 217
    58991 ÷ 131072     		x = 0.450065612792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81548 ÷ 217
    81548 ÷ 131072     		y = 0.622161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450065612792969 × 2 - 1) × π
    -0.0998687744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31374701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.24432373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.767565636716339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31374701} λ = -0.31374701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767565636716339))-π/2
    2×atan(0.464141583375088)-π/2
    2×0.4345516371278-π/2
    0.869103274255599-1.57079632675     		φ = -0.70169305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31374701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.976380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70169305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.204050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58991 KachelY 81548 -0.31374701 -0.70169305 -17.976380 -40.204050
    Oben rechts KachelX + 1 58992 KachelY 81548 -0.31369907 -0.70169305 -17.973633 -40.204050
    Unten links KachelX 58991 KachelY + 1 81549 -0.31374701 -0.70172966 -17.976380 -40.206148
    Unten rechts KachelX + 1 58992 KachelY + 1 81549 -0.31369907 -0.70172966 -17.973633 -40.206148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70169305--0.70172966) × R
    3.66099999999925e-05 × 6371000     		dl = 233.242309999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70169305--0.70172966) × R
    3.66099999999925e-05 × 6371000     		dr = 233.242309999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31374701--0.31369907) × cos(-0.70169305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763750398871614 × 6371000     		do = 233.269030750505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31374701--0.31369907) × cos(-0.70172966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763726766177213 × 6371000     		du = 233.261812717329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70169305)-sin(-0.70172966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763750398871614-0.763726766177213)×R²
    abs(-0.31369907--0.31374701)×2.36326944013099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36326944013099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36326944013099e-05×40589641000000     		ar = 54407.3658144737m²