Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58991 / 30067
↖ ↑ ↗
← N 69.299882°
W 17.976380°		 ← 107.96 m → N 69.299882°
W 17.973633°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
N 69.298911°
W 17.976380°		 ← 107.97 m →
11 659 m²		 N 69.298911°
W 17.973633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450069427490234 y=0.229396820068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450069427490234 × 217)
    floor (0.450069427490234 × 131072)
    floor (58991.5)     		tx = 58991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229396820068359 × 217)
    floor (0.229396820068359 × 131072)
    floor (30067.5)     		ty = 30067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58991 / 30067 ti = "17/58991/30067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58991/30067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58991 ÷ 217
    58991 ÷ 131072     		x = 0.450065612792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30067 ÷ 217
    30067 ÷ 131072     		y = 0.229393005371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450065612792969 × 2 - 1) × π
    -0.0998687744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31374701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229393005371094 × 2 - 1) × π
    0.541213989257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.70027389262377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31374701} λ = -0.31374701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70027389262377))-π/2
    2×atan(5.47544687087947)-π/2
    2×1.39015371701262-π/2
    2.78030743402524-1.57079632675     		φ = 1.20951111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31374701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.976380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20951111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.299882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58991 KachelY 30067 -0.31374701 1.20951111 -17.976380 69.299882
    Oben rechts KachelX + 1 58992 KachelY 30067 -0.31369907 1.20951111 -17.973633 69.299882
    Unten links KachelX 58991 KachelY + 1 30068 -0.31374701 1.20949416 -17.976380 69.298911
    Unten rechts KachelX + 1 58992 KachelY + 1 30068 -0.31369907 1.20949416 -17.973633 69.298911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20951111-1.20949416) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20951111-1.20949416) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31374701--0.31369907) × cos(1.20951111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35347677231992 × 6371000     		do = 107.960904758552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31374701--0.31369907) × cos(1.20949416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353492628033112 × 6371000     		du = 107.965747501487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20951111)-sin(1.20949416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35347677231992-0.353492628033112)×R²
    abs(-0.31369907--0.31374701)×1.58557131923476e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58557131923476e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58557131923476e-05×40589641000000     		ar = 11658.7922459561m²