Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58990 / 81558
↖ ↑ ↗
← S 40.225024°
W 17.979126°		 ← 233.15 m → S 40.225024°
W 17.976380°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 40.227121°
W 17.979126°		 ← 233.14 m →
54 364 m²		 S 40.227121°
W 17.976380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450061798095703 y=0.622241973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450061798095703 × 217)
    floor (0.450061798095703 × 131072)
    floor (58990.5)     		tx = 58990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622241973876953 × 217)
    floor (0.622241973876953 × 131072)
    floor (81558.5)     		ty = 81558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58990 / 81558 ti = "17/58990/81558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58990/81558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58990 ÷ 217
    58990 ÷ 131072     		x = 0.450057983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81558 ÷ 217
    81558 ÷ 131072     		y = 0.622238159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450057983398438 × 2 - 1) × π
    -0.099884033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31379494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622238159179688 × 2 - 1) × π
    -0.244476318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.76804500571254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31379494} λ = -0.31379494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76804500571254))-π/2
    2×atan(0.463919141610273)-π/2
    2×0.434368606321084-π/2
    0.868737212642168-1.57079632675     		φ = -0.70205911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31379494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.979126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70205911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.225024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58990 KachelY 81558 -0.31379494 -0.70205911 -17.979126 -40.225024
    Oben rechts KachelX + 1 58991 KachelY 81558 -0.31374701 -0.70205911 -17.976380 -40.225024
    Unten links KachelX 58990 KachelY + 1 81559 -0.31379494 -0.70209571 -17.979126 -40.227121
    Unten rechts KachelX + 1 58991 KachelY + 1 81559 -0.31374701 -0.70209571 -17.976380 -40.227121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70205911--0.70209571) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dl = 233.178600000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70205911--0.70209571) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dr = 233.178600000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31379494--0.31374701) × cos(-0.70205911) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763514051700288 × 6371000     		do = 233.148200760868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31379494--0.31374701) × cos(-0.70209571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763490415230453 × 6371000     		du = 233.140983080457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70205911)-sin(-0.70209571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763514051700288-0.763490415230453)×R²
    abs(-0.31374701--0.31379494)×2.36364698356084e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36364698356084e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36364698356084e-05×40589641000000     		ar = 54364.329547808m²