Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5899 / 6929
↖ ↑ ↗
← N 26.725987°
W 50.383301°		 ← 2 182.26 m → N 26.725987°
W 50.361328°		 →
↑
2 182.45 m
↓
↑
2 182.45 m
↓
N 26.706360°
W 50.383301°		 ← 2 182.63 m →
4 763 077 m²		 N 26.706360°
W 50.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360076904296875 y=0.422943115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360076904296875 × 214)
    floor (0.360076904296875 × 16384)
    floor (5899.5)     		tx = 5899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422943115234375 × 214)
    floor (0.422943115234375 × 16384)
    floor (6929.5)     		ty = 6929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5899 / 6929 ti = "14/5899/6929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5899/6929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5899 ÷ 214
    5899 ÷ 16384     		x = 0.36004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6929 ÷ 214
    6929 ÷ 16384     		y = 0.42291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36004638671875 × 2 - 1) × π
    -0.2799072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87935449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42291259765625 × 2 - 1) × π
    0.1541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.484354433761047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87935449} λ = -0.87935449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484354433761047))-π/2
    2×atan(1.6231268346617)-π/2
    2×1.01862639625063-π/2
    2.03725279250126-1.57079632675     		φ = 0.46645647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87935449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46645647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.725987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5899 KachelY 6929 -0.87935449 0.46645647 -50.383301 26.725987
    Oben rechts KachelX + 1 5900 KachelY 6929 -0.87897099 0.46645647 -50.361328 26.725987
    Unten links KachelX 5899 KachelY + 1 6930 -0.87935449 0.46611391 -50.383301 26.706360
    Unten rechts KachelX + 1 5900 KachelY + 1 6930 -0.87897099 0.46611391 -50.361328 26.706360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46645647-0.46611391) × R
    0.000342559999999992 × 6371000     		dl = 2182.44975999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46645647-0.46611391) × R
    0.000342559999999992 × 6371000     		dr = 2182.44975999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87935449--0.87897099) × cos(0.46645647) × R
    0.000383499999999981 × 0.89316750344616 × 6371000     		do = 2182.25695806857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87935449--0.87897099) × cos(0.46611391) × R
    0.000383499999999981 × 0.893321508542434 × 6371000     		du = 2182.63323540919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46645647)-sin(0.46611391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89316750344616-0.893321508542434)×R²
    abs(-0.87897099--0.87935449)×0.000154005096273724×R²
    0.000383499999999981×0.000154005096273724×6371000²
    0.000383499999999981×0.000154005096273724×40589641000000     		ar = 4763076.82416925m²