Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58988 / 85396
↖ ↑ ↗
← S 47.791016°
W 17.984619°		 ← 205.20 m → S 47.791016°
W 17.981872°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
S 47.792861°
W 17.984619°		 ← 205.19 m →
42 094 m²		 S 47.792861°
W 17.981872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450046539306641 y=0.651523590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450046539306641 × 217)
    floor (0.450046539306641 × 131072)
    floor (58988.5)     		tx = 58988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651523590087891 × 217)
    floor (0.651523590087891 × 131072)
    floor (85396.5)     		ty = 85396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58988 / 85396 ti = "17/58988/85396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58988/85396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58988 ÷ 217
    58988 ÷ 131072     		x = 0.450042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85396 ÷ 217
    85396 ÷ 131072     		y = 0.651519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.09991455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31389082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.30303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.952026826454315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31389082} λ = -0.31389082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952026826454315))-π/2
    2×atan(0.385957960351771)-π/2
    2×0.368342870814309-π/2
    0.736685741628618-1.57079632675     		φ = -0.83411059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31389082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.984619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83411059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.791016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58988 KachelY 85396 -0.31389082 -0.83411059 -17.984619 -47.791016
    Oben rechts KachelX + 1 58989 KachelY 85396 -0.31384288 -0.83411059 -17.981872 -47.791016
    Unten links KachelX 58988 KachelY + 1 85397 -0.31389082 -0.83414279 -17.984619 -47.792861
    Unten rechts KachelX + 1 58989 KachelY + 1 85397 -0.31384288 -0.83414279 -17.981872 -47.792861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83411059--0.83414279) × R
    3.22000000000378e-05 × 6371000     		dl = 205.146200000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83411059--0.83414279) × R
    3.22000000000378e-05 × 6371000     		dr = 205.146200000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31389082--0.31384288) × cos(-0.83411059) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671836733635827 × 6371000     		do = 205.196231530009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31389082--0.31384288) × cos(-0.83414279) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671812882771158 × 6371000     		du = 205.188946862017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83411059)-sin(-0.83414279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671836733635827-0.671812882771158)×R²
    abs(-0.31384288--0.31389082)×2.38508646696056e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38508646696056e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38508646696056e-05×40589641000000     		ar = 42094.4799454178m²