Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58988 / 26999
↖ ↑ ↗
← N 72.081518°
W 17.984619°		 ← 93.97 m → N 72.081518°
W 17.981872°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
N 72.080673°
W 17.984619°		 ← 93.97 m →
8 831 m²		 N 72.080673°
W 17.981872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450046539306641 y=0.205989837646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450046539306641 × 217)
    floor (0.450046539306641 × 131072)
    floor (58988.5)     		tx = 58988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205989837646484 × 217)
    floor (0.205989837646484 × 131072)
    floor (26999.5)     		ty = 26999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58988 / 26999 ti = "17/58988/26999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58988/26999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58988 ÷ 217
    58988 ÷ 131072     		x = 0.450042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26999 ÷ 217
    26999 ÷ 131072     		y = 0.205986022949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.09991455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31389082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205986022949219 × 2 - 1) × π
    0.588027954101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.8473443006581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31389082} λ = -0.31389082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8473443006581))-π/2
    2×atan(6.34295216131464)-π/2
    2×1.41442807510955-π/2
    2.82885615021911-1.57079632675     		φ = 1.25805982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31389082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.984619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25805982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.081518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58988 KachelY 26999 -0.31389082 1.25805982 -17.984619 72.081518
    Oben rechts KachelX + 1 58989 KachelY 26999 -0.31384288 1.25805982 -17.981872 72.081518
    Unten links KachelX 58988 KachelY + 1 27000 -0.31389082 1.25804507 -17.984619 72.080673
    Unten rechts KachelX + 1 58989 KachelY + 1 27000 -0.31384288 1.25804507 -17.981872 72.080673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25805982-1.25804507) × R
    1.47499999998413e-05 × 6371000     		dl = 93.9722499989888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25805982-1.25804507) × R
    1.47499999998413e-05 × 6371000     		dr = 93.9722499989888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31389082--0.31384288) × cos(1.25805982) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.307663558265444 × 6371000     		do = 93.9683699543036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31389082--0.31384288) × cos(1.25804507) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.307677592786325 × 6371000     		du = 93.9726564582292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25805982)-sin(1.25804507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307663558265444-0.307677592786325)×R²
    abs(-0.31384288--0.31389082)×1.40345208808346e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.40345208808346e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.40345208808346e-05×40589641000000     		ar = 8830.62055962778m²