Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58987 / 39577
↖ ↑ ↗
← N 57.854982°
W 17.987366°		 ← 162.51 m → N 57.854982°
W 17.984619°		 →
↑
162.46 m
↓
↑
162.46 m
↓
N 57.853521°
W 17.987366°		 ← 162.51 m →
26 401 m²		 N 57.853521°
W 17.984619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450038909912109 y=0.301952362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450038909912109 × 217)
    floor (0.450038909912109 × 131072)
    floor (58987.5)     		tx = 58987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301952362060547 × 217)
    floor (0.301952362060547 × 131072)
    floor (39577.5)     		ty = 39577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58987 / 39577 ti = "17/58987/39577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58987/39577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58987 ÷ 217
    58987 ÷ 131072     		x = 0.450035095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39577 ÷ 217
    39577 ÷ 131072     		y = 0.301948547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450035095214844 × 2 - 1) × π
    -0.0999298095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31393876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301948547363281 × 2 - 1) × π
    0.396102905273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.24439397723704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31393876} λ = -0.31393876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24439397723704))-π/2
    2×atan(3.47083075940658)-π/2
    2×1.29027812522803-π/2
    2.58055625045607-1.57079632675     		φ = 1.00975992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31393876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.987366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00975992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.854982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58987 KachelY 39577 -0.31393876 1.00975992 -17.987366 57.854982
    Oben rechts KachelX + 1 58988 KachelY 39577 -0.31389082 1.00975992 -17.984619 57.854982
    Unten links KachelX 58987 KachelY + 1 39578 -0.31393876 1.00973442 -17.987366 57.853521
    Unten rechts KachelX + 1 58988 KachelY + 1 39578 -0.31389082 1.00973442 -17.984619 57.853521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00975992-1.00973442) × R
    2.55000000000116e-05 × 6371000     		dl = 162.460500000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00975992-1.00973442) × R
    2.55000000000116e-05 × 6371000     		dr = 162.460500000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31393876--0.31389082) × cos(1.00975992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.532064013433856 × 6371000     		do = 162.506045030299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31393876--0.31389082) × cos(1.00973442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.532085604216209 × 6371000     		du = 162.512639410976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00975992)-sin(1.00973442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532064013433856-0.532085604216209)×R²
    abs(-0.31389082--0.31393876)×2.1590782353198e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1590782353198e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1590782353198e-05×40589641000000     		ar = 26401.3489932099m²