Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58987 / 30072
↖ ↑ ↗
← N 69.295027°
W 17.987366°		 ← 107.99 m → N 69.295027°
W 17.984619°		 →
↑
107.92 m
↓
↑
107.92 m
↓
N 69.294056°
W 17.987366°		 ← 107.99 m →
11 655 m²		 N 69.294056°
W 17.984619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450038909912109 y=0.229434967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450038909912109 × 217)
    floor (0.450038909912109 × 131072)
    floor (58987.5)     		tx = 58987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229434967041016 × 217)
    floor (0.229434967041016 × 131072)
    floor (30072.5)     		ty = 30072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58987 / 30072 ti = "17/58987/30072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58987/30072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58987 ÷ 217
    58987 ÷ 131072     		x = 0.450035095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30072 ÷ 217
    30072 ÷ 131072     		y = 0.22943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450035095214844 × 2 - 1) × π
    -0.0999298095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31393876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22943115234375 × 2 - 1) × π
    0.5411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70003420812567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31393876} λ = -0.31393876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70003420812567))-π/2
    2×atan(5.47413464841033)-π/2
    2×1.39011135081166-π/2
    2.78022270162333-1.57079632675     		φ = 1.20942637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31393876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.987366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20942637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.295027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58987 KachelY 30072 -0.31393876 1.20942637 -17.987366 69.295027
    Oben rechts KachelX + 1 58988 KachelY 30072 -0.31389082 1.20942637 -17.984619 69.295027
    Unten links KachelX 58987 KachelY + 1 30073 -0.31393876 1.20940943 -17.987366 69.294056
    Unten rechts KachelX + 1 58988 KachelY + 1 30073 -0.31389082 1.20940943 -17.984619 69.294056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20942637-1.20940943) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dl = 107.924740000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20942637-1.20940943) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dr = 107.924740000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31393876--0.31389082) × cos(1.20942637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353556040516109 × 6371000     		do = 107.985115306032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31393876--0.31389082) × cos(1.20940943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353571886367446 × 6371000     		du = 107.989955036902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20942637)-sin(1.20940943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353556040516109-0.353571886367446)×R²
    abs(-0.31389082--0.31393876)×1.58458513366821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58458513366821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58458513366821e-05×40589641000000     		ar = 11654.5266570121m²