Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58987 / 26998
↖ ↑ ↗
← N 72.082363°
W 17.987366°		 ← 93.96 m → N 72.082363°
W 17.984619°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
N 72.081518°
W 17.987366°		 ← 93.97 m →
8 830 m²		 N 72.081518°
W 17.984619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450038909912109 y=0.205982208251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450038909912109 × 217)
    floor (0.450038909912109 × 131072)
    floor (58987.5)     		tx = 58987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205982208251953 × 217)
    floor (0.205982208251953 × 131072)
    floor (26998.5)     		ty = 26998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58987 / 26998 ti = "17/58987/26998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58987/26998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58987 ÷ 217
    58987 ÷ 131072     		x = 0.450035095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26998 ÷ 217
    26998 ÷ 131072     		y = 0.205978393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450035095214844 × 2 - 1) × π
    -0.0999298095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31393876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205978393554688 × 2 - 1) × π
    0.588043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84739223755772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31393876} λ = -0.31393876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84739223755772))-π/2
    2×atan(6.34325623006369)-π/2
    2×1.41443544915986-π/2
    2.82887089831971-1.57079632675     		φ = 1.25807457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31393876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.987366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25807457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.082363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58987 KachelY 26998 -0.31393876 1.25807457 -17.987366 72.082363
    Oben rechts KachelX + 1 58988 KachelY 26998 -0.31389082 1.25807457 -17.984619 72.082363
    Unten links KachelX 58987 KachelY + 1 26999 -0.31393876 1.25805982 -17.987366 72.081518
    Unten rechts KachelX + 1 58988 KachelY + 1 26999 -0.31389082 1.25805982 -17.984619 72.081518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25807457-1.25805982) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dl = 93.9722500004034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25807457-1.25805982) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dr = 93.9722500004034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31393876--0.31389082) × cos(1.25807457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307649523677627 × 6371000     		do = 93.9640834298251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31393876--0.31389082) × cos(1.25805982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307663558265444 × 6371000     		du = 93.9683699541948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25807457)-sin(1.25805982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307649523677627-0.307663558265444)×R²
    abs(-0.31389082--0.31393876)×1.40345878171244e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40345878171244e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40345878171244e-05×40589641000000     		ar = 8830.21774654203m²