Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58986 / 85397
↖ ↑ ↗
← S 47.792861°
W 17.990112°		 ← 205.15 m → S 47.792861°
W 17.987366°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
S 47.794706°
W 17.990112°		 ← 205.14 m →
42 084 m²		 S 47.794706°
W 17.987366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450031280517578 y=0.651531219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450031280517578 × 217)
    floor (0.450031280517578 × 131072)
    floor (58986.5)     		tx = 58986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651531219482422 × 217)
    floor (0.651531219482422 × 131072)
    floor (85397.5)     		ty = 85397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58986 / 85397 ti = "17/58986/85397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58986/85397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58986 ÷ 217
    58986 ÷ 131072     		x = 0.450027465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85397 ÷ 217
    85397 ÷ 131072     		y = 0.651527404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450027465820312 × 2 - 1) × π
    -0.099945068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31398669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651527404785156 × 2 - 1) × π
    -0.303054809570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.952074763353935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31398669} λ = -0.31398669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952074763353935))-π/2
    2×atan(0.385939459167216)-π/2
    2×0.368326768215073-π/2
    0.736653536430146-1.57079632675     		φ = -0.83414279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31398669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.990112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83414279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.792861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58986 KachelY 85397 -0.31398669 -0.83414279 -17.990112 -47.792861
    Oben rechts KachelX + 1 58987 KachelY 85397 -0.31393876 -0.83414279 -17.987366 -47.792861
    Unten links KachelX 58986 KachelY + 1 85398 -0.31398669 -0.83417499 -17.990112 -47.794706
    Unten rechts KachelX + 1 58987 KachelY + 1 85398 -0.31393876 -0.83417499 -17.987366 -47.794706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83414279--0.83417499) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dl = 205.146199999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83414279--0.83417499) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dr = 205.146199999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31398669--0.31393876) × cos(-0.83414279) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.671812882771158 × 6371000     		do = 205.146145663278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31398669--0.31393876) × cos(-0.83417499) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.671789031209926 × 6371000     		du = 205.138862302122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83414279)-sin(-0.83417499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671812882771158-0.671789031209926)×R²
    abs(-0.31393876--0.31398669)×2.3851561231969e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3851561231969e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3851561231969e-05×40589641000000     		ar = 42084.2051541446m²