Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58985 / 85398
↖ ↑ ↗
← S 47.794706°
W 17.992859°		 ← 205.18 m → S 47.794706°
W 17.990112°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
S 47.796552°
W 17.992859°		 ← 205.17 m →
42 105 m²		 S 47.796552°
W 17.990112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450023651123047 y=0.651538848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450023651123047 × 217)
    floor (0.450023651123047 × 131072)
    floor (58985.5)     		tx = 58985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651538848876953 × 217)
    floor (0.651538848876953 × 131072)
    floor (85398.5)     		ty = 85398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58985 / 85398 ti = "17/58985/85398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58985/85398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58985 ÷ 217
    58985 ÷ 131072     		x = 0.450019836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85398 ÷ 217
    85398 ÷ 131072     		y = 0.651535034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450019836425781 × 2 - 1) × π
    -0.0999603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31403463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651535034179688 × 2 - 1) × π
    -0.303070068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.952122700253555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31403463} λ = -0.31403463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952122700253555))-π/2
    2×atan(0.38592095886953)-π/2
    2×0.368310666187596-π/2
    0.736621332375192-1.57079632675     		φ = -0.83417499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31403463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.992859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83417499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.794706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58985 KachelY 85398 -0.31403463 -0.83417499 -17.992859 -47.794706
    Oben rechts KachelX + 1 58986 KachelY 85398 -0.31398669 -0.83417499 -17.990112 -47.794706
    Unten links KachelX 58985 KachelY + 1 85399 -0.31403463 -0.83420720 -17.992859 -47.796552
    Unten rechts KachelX + 1 58986 KachelY + 1 85399 -0.31398669 -0.83420720 -17.990112 -47.796552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83417499--0.83420720) × R
    3.2210000000088e-05 × 6371000     		dl = 205.209910000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83417499--0.83420720) × R
    3.2210000000088e-05 × 6371000     		dr = 205.209910000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31403463--0.31398669) × cos(-0.83417499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671789031209926 × 6371000     		do = 205.18166198104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31403463--0.31398669) × cos(-0.83420720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671765171544514 × 6371000     		du = 205.174374625076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83417499)-sin(-0.83420720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671789031209926-0.671765171544514)×R²
    abs(-0.31398669--0.31403463)×2.38596654114076e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38596654114076e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38596654114076e-05×40589641000000     		ar = 42104.562673512m²