Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58985 / 45370
↖ ↑ ↗
← N 48.352599°
W 17.992859°		 ← 202.97 m → N 48.352599°
W 17.990112°		 →
↑
202.98 m
↓
↑
202.98 m
↓
N 48.350773°
W 17.992859°		 ← 202.98 m →
41 199 m²		 N 48.350773°
W 17.990112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450023651123047 y=0.346149444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450023651123047 × 217)
    floor (0.450023651123047 × 131072)
    floor (58985.5)     		tx = 58985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346149444580078 × 217)
    floor (0.346149444580078 × 131072)
    floor (45370.5)     		ty = 45370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58985 / 45370 ti = "17/58985/45370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58985/45370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58985 ÷ 217
    58985 ÷ 131072     		x = 0.450019836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45370 ÷ 217
    45370 ÷ 131072     		y = 0.346145629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450019836425781 × 2 - 1) × π
    -0.0999603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31403463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346145629882812 × 2 - 1) × π
    0.307708740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.966695517738052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31403463} λ = -0.31403463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966695517738052))-π/2
    2×atan(2.62924180548202)-π/2
    2×1.20735418805933-π/2
    2.41470837611865-1.57079632675     		φ = 0.84391205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31403463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.992859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84391205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.352599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58985 KachelY 45370 -0.31403463 0.84391205 -17.992859 48.352599
    Oben rechts KachelX + 1 58986 KachelY 45370 -0.31398669 0.84391205 -17.990112 48.352599
    Unten links KachelX 58985 KachelY + 1 45371 -0.31403463 0.84388019 -17.992859 48.350773
    Unten rechts KachelX + 1 58986 KachelY + 1 45371 -0.31398669 0.84388019 -17.990112 48.350773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84391205-0.84388019) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dl = 202.980059999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84391205-0.84388019) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dr = 202.980059999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31403463--0.31398669) × cos(0.84391205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664544644690034 × 6371000     		do = 202.969039867358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31403463--0.31398669) × cos(0.84388019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664568451691978 × 6371000     		du = 202.976311138543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84391205)-sin(0.84388019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664544644690034-0.664568451691978)×R²
    abs(-0.31398669--0.31403463)×2.38070019435987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38070019435987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38070019435987e-05×40589641000000     		ar = 41199.4058554507m²