Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58985 / 45286
↖ ↑ ↗
← N 48.505687°
W 17.992859°		 ← 202.36 m → N 48.505687°
W 17.990112°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
N 48.503868°
W 17.992859°		 ← 202.37 m →
40 947 m²		 N 48.503868°
W 17.990112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450023651123047 y=0.345508575439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450023651123047 × 217)
    floor (0.450023651123047 × 131072)
    floor (58985.5)     		tx = 58985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345508575439453 × 217)
    floor (0.345508575439453 × 131072)
    floor (45286.5)     		ty = 45286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58985 / 45286 ti = "17/58985/45286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58985/45286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58985 ÷ 217
    58985 ÷ 131072     		x = 0.450019836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45286 ÷ 217
    45286 ÷ 131072     		y = 0.345504760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450019836425781 × 2 - 1) × π
    -0.0999603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31403463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345504760742188 × 2 - 1) × π
    0.308990478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.970722217306137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31403463} λ = -0.31403463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970722217306137))-π/2
    2×atan(2.63985031663404)-π/2
    2×1.2086901363783-π/2
    2.41738027275659-1.57079632675     		φ = 0.84658395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31403463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.992859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84658395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.505687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58985 KachelY 45286 -0.31403463 0.84658395 -17.992859 48.505687
    Oben rechts KachelX + 1 58986 KachelY 45286 -0.31398669 0.84658395 -17.990112 48.505687
    Unten links KachelX 58985 KachelY + 1 45287 -0.31403463 0.84655219 -17.992859 48.503868
    Unten rechts KachelX + 1 58986 KachelY + 1 45287 -0.31398669 0.84655219 -17.990112 48.503868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84658395-0.84655219) × R
    3.17599999999363e-05 × 6371000     		dl = 202.342959999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84658395-0.84655219) × R
    3.17599999999363e-05 × 6371000     		dr = 202.342959999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31403463--0.31398669) × cos(0.84658395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662545701522427 × 6371000     		do = 202.358511171174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31403463--0.31398669) × cos(0.84655219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66256949011081 × 6371000     		du = 202.365776818384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84658395)-sin(0.84655219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662545701522427-0.66256949011081)×R²
    abs(-0.31398669--0.31403463)×2.37885883834776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37885883834776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37885883834776e-05×40589641000000     		ar = 40946.5552112167m²