Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58984 / 46057
↖ ↑ ↗
← N 47.083215°
W 17.995606°		 ← 207.98 m → N 47.083215°
W 17.992859°		 →
↑
208.01 m
↓
↑
208.01 m
↓
N 47.081345°
W 17.995606°		 ← 207.98 m →
43 262 m²		 N 47.081345°
W 17.992859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450016021728516 y=0.351390838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450016021728516 × 217)
    floor (0.450016021728516 × 131072)
    floor (58984.5)     		tx = 58984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351390838623047 × 217)
    floor (0.351390838623047 × 131072)
    floor (46057.5)     		ty = 46057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58984 / 46057 ti = "17/58984/46057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58984/46057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58984 ÷ 217
    58984 ÷ 131072     		x = 0.45001220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46057 ÷ 217
    46057 ÷ 131072     		y = 0.351387023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45001220703125 × 2 - 1) × π
    -0.0999755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31408257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351387023925781 × 2 - 1) × π
    0.297225952148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.933762867699074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31408257} λ = -0.31408257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933762867699074))-π/2
    2×atan(2.54406416613993)-π/2
    2×1.19627672676484-π/2
    2.39255345352968-1.57079632675     		φ = 0.82175713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31408257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.995606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82175713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.083215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58984 KachelY 46057 -0.31408257 0.82175713 -17.995606 47.083215
    Oben rechts KachelX + 1 58985 KachelY 46057 -0.31403463 0.82175713 -17.992859 47.083215
    Unten links KachelX 58984 KachelY + 1 46058 -0.31408257 0.82172448 -17.995606 47.081345
    Unten rechts KachelX + 1 58985 KachelY + 1 46058 -0.31403463 0.82172448 -17.992859 47.081345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82175713-0.82172448) × R
    3.26499999999674e-05 × 6371000     		dl = 208.013149999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82175713-0.82172448) × R
    3.26499999999674e-05 × 6371000     		dr = 208.013149999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31408257--0.31403463) × cos(0.82175713) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.680935436496213 × 6371000     		do = 207.975209584183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31408257--0.31403463) × cos(0.82172448) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.680959347146962 × 6371000     		du = 207.982512512382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82175713)-sin(0.82172448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680935436496213-0.680959347146962)×R²
    abs(-0.31403463--0.31408257)×2.39106507491371e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39106507491371e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39106507491371e-05×40589641000000     		ar = 43262.3380238787m²