Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58983 / 27000
↖ ↑ ↗
← N 72.080673°
W 17.998352°		 ← 93.95 m → N 72.080673°
W 17.995606°		 →
↑
93.91 m
↓
↑
93.91 m
↓
N 72.079828°
W 17.998352°		 ← 93.96 m →
8 823 m²		 N 72.079828°
W 17.995606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450008392333984 y=0.205997467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450008392333984 × 217)
    floor (0.450008392333984 × 131072)
    floor (58983.5)     		tx = 58983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205997467041016 × 217)
    floor (0.205997467041016 × 131072)
    floor (27000.5)     		ty = 27000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58983 / 27000 ti = "17/58983/27000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58983/27000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58983 ÷ 217
    58983 ÷ 131072     		x = 0.450004577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27000 ÷ 217
    27000 ÷ 131072     		y = 0.20599365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450004577636719 × 2 - 1) × π
    -0.0999908447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31413050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20599365234375 × 2 - 1) × π
    0.5880126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84729636375848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31413050} λ = -0.31413050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84729636375848))-π/2
    2×atan(6.34264810714135)-π/2
    2×1.4144207007229-π/2
    2.8288414014458-1.57079632675     		φ = 1.25804507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31413050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.998352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25804507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.080673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58983 KachelY 27000 -0.31413050 1.25804507 -17.998352 72.080673
    Oben rechts KachelX + 1 58984 KachelY 27000 -0.31408257 1.25804507 -17.995606 72.080673
    Unten links KachelX 58983 KachelY + 1 27001 -0.31413050 1.25803033 -17.998352 72.079828
    Unten rechts KachelX + 1 58984 KachelY + 1 27001 -0.31408257 1.25803033 -17.995606 72.079828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25804507-1.25803033) × R
    1.47400000001241e-05 × 6371000     		dl = 93.9085400007906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25804507-1.25803033) × R
    1.47400000001241e-05 × 6371000     		dr = 93.9085400007906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31413050--0.31408257) × cos(1.25804507) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.307677592786325 × 6371000     		do = 93.9530543186942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31413050--0.31408257) × cos(1.25803033) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.307691617725406 × 6371000     		du = 93.9573370025625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25804507)-sin(1.25803033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307677592786325-0.307691617725406)×R²
    abs(-0.31408257--0.31413050)×1.40249390807035e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.40249390807035e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.40249390807035e-05×40589641000000     		ar = 8823.19525010308m²