Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58981 / 85411
↖ ↑ ↗
← S 47.818687°
W 18.003845°		 ← 205.09 m → S 47.818687°
W 18.001099°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
S 47.820532°
W 18.003845°		 ← 205.08 m →
42 059 m²		 S 47.820532°
W 18.001099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449993133544922 y=0.651638031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449993133544922 × 217)
    floor (0.449993133544922 × 131072)
    floor (58981.5)     		tx = 58981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651638031005859 × 217)
    floor (0.651638031005859 × 131072)
    floor (85411.5)     		ty = 85411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58981 / 85411 ti = "17/58981/85411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58981/85411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58981 ÷ 217
    58981 ÷ 131072     		x = 0.449989318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85411 ÷ 217
    85411 ÷ 131072     		y = 0.651634216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449989318847656 × 2 - 1) × π
    -0.100021362304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31422638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651634216308594 × 2 - 1) × π
    -0.303268432617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.952745879948616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31422638} λ = -0.31422638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952745879948616))-π/2
    2×atan(0.385680535685268)-π/2
    2×0.368101391858796-π/2
    0.736202783717592-1.57079632675     		φ = -0.83459354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31422638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.003845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83459354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.818687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58981 KachelY 85411 -0.31422638 -0.83459354 -18.003845 -47.818687
    Oben rechts KachelX + 1 58982 KachelY 85411 -0.31417844 -0.83459354 -18.001099 -47.818687
    Unten links KachelX 58981 KachelY + 1 85412 -0.31422638 -0.83462573 -18.003845 -47.820532
    Unten rechts KachelX + 1 58982 KachelY + 1 85412 -0.31417844 -0.83462573 -18.001099 -47.820532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83459354--0.83462573) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83459354--0.83462573) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31422638--0.31417844) × cos(-0.83459354) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671478934589161 × 6371000     		do = 205.086950491409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31422638--0.31417844) × cos(-0.83462573) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671455080690185 × 6371000     		du = 205.079664896662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83459354)-sin(-0.83462573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671478934589161-0.671455080690185)×R²
    abs(-0.31417844--0.31422638)×2.38538989759673e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38538989759673e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38538989759673e-05×40589641000000     		ar = 42058.9954029372m²