Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58980 / 85410
↖ ↑ ↗
← S 47.816843°
W 18.006592°		 ← 205.05 m → S 47.816843°
W 18.003845°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
S 47.818687°
W 18.006592°		 ← 205.04 m →
42 052 m²		 S 47.818687°
W 18.003845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449985504150391 y=0.651630401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449985504150391 × 217)
    floor (0.449985504150391 × 131072)
    floor (58980.5)     		tx = 58980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651630401611328 × 217)
    floor (0.651630401611328 × 131072)
    floor (85410.5)     		ty = 85410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58980 / 85410 ti = "17/58980/85410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58980/85410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58980 ÷ 217
    58980 ÷ 131072     		x = 0.449981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85410 ÷ 217
    85410 ÷ 131072     		y = 0.651626586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.10003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31427431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651626586914062 × 2 - 1) × π
    -0.303253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.952697943048996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31427431} λ = -0.31427431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952697943048996))-π/2
    2×atan(0.385699024457536)-π/2
    2×0.368117486453738-π/2
    0.736234972907476-1.57079632675     		φ = -0.83456135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31427431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.006592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83456135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.816843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58980 KachelY 85410 -0.31427431 -0.83456135 -18.006592 -47.816843
    Oben rechts KachelX + 1 58981 KachelY 85410 -0.31422638 -0.83456135 -18.003845 -47.816843
    Unten links KachelX 58980 KachelY + 1 85411 -0.31427431 -0.83459354 -18.006592 -47.818687
    Unten rechts KachelX + 1 58981 KachelY + 1 85411 -0.31422638 -0.83459354 -18.003845 -47.818687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83456135--0.83459354) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83456135--0.83459354) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31427431--0.31422638) × cos(-0.83456135) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.671502787792353 × 6371000     		do = 205.05145443082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31427431--0.31422638) × cos(-0.83459354) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.671478934589161 × 6371000     		du = 205.044170568271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83456135)-sin(-0.83459354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671502787792353-0.671478934589161)×R²
    abs(-0.31422638--0.31427431)×2.38532031919814e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38532031919814e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38532031919814e-05×40589641000000     		ar = 42051.7159600237m²