Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58980 / 46063
↖ ↑ ↗
← N 47.071992°
W 18.006592°		 ← 207.98 m → N 47.071992°
W 18.003845°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
N 47.070122°
W 18.006592°		 ← 207.98 m →
43 249 m²		 N 47.070122°
W 18.003845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449985504150391 y=0.351436614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449985504150391 × 217)
    floor (0.449985504150391 × 131072)
    floor (58980.5)     		tx = 58980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351436614990234 × 217)
    floor (0.351436614990234 × 131072)
    floor (46063.5)     		ty = 46063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58980 / 46063 ti = "17/58980/46063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58980/46063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58980 ÷ 217
    58980 ÷ 131072     		x = 0.449981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46063 ÷ 217
    46063 ÷ 131072     		y = 0.351432800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.10003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31427431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351432800292969 × 2 - 1) × π
    0.297134399414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.933475246301353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31427431} λ = -0.31427431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933475246301353))-π/2
    2×atan(2.5433325440687)-π/2
    2×1.19617879064997-π/2
    2.39235758129994-1.57079632675     		φ = 0.82156125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31427431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.006592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82156125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.071992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58980 KachelY 46063 -0.31427431 0.82156125 -18.006592 47.071992
    Oben rechts KachelX + 1 58981 KachelY 46063 -0.31422638 0.82156125 -18.003845 47.071992
    Unten links KachelX 58980 KachelY + 1 46064 -0.31427431 0.82152861 -18.006592 47.070122
    Unten rechts KachelX + 1 58981 KachelY + 1 46064 -0.31422638 0.82152861 -18.003845 47.070122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82156125-0.82152861) × R
    3.26400000000282e-05 × 6371000     		dl = 207.94944000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82156125-0.82152861) × R
    3.26400000000282e-05 × 6371000     		dr = 207.94944000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31427431--0.31422638) × cos(0.82156125) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.681078874867227 × 6371000     		do = 207.975627819459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31427431--0.31422638) × cos(0.82152861) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.681102773840653 × 6371000     		du = 207.982925658499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82156125)-sin(0.82152861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681078874867227-0.681102773840653)×R²
    abs(-0.31422638--0.31427431)×2.38989734254735e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38989734254735e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38989734254735e-05×40589641000000     		ar = 43249.1741333731m²