Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58978 / 46062
↖ ↑ ↗
← N 47.073863°
W 18.012085°		 ← 208.01 m → N 47.073863°
W 18.009338°		 →
↑
208.01 m
↓
↑
208.01 m
↓
N 47.071992°
W 18.012085°		 ← 208.02 m →
43 270 m²		 N 47.071992°
W 18.009338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449970245361328 y=0.351428985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449970245361328 × 217)
    floor (0.449970245361328 × 131072)
    floor (58978.5)     		tx = 58978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351428985595703 × 217)
    floor (0.351428985595703 × 131072)
    floor (46062.5)     		ty = 46062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58978 / 46062 ti = "17/58978/46062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58978/46062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58978 ÷ 217
    58978 ÷ 131072     		x = 0.449966430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46062 ÷ 217
    46062 ÷ 131072     		y = 0.351425170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449966430664062 × 2 - 1) × π
    -0.100067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31437019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351425170898438 × 2 - 1) × π
    0.297149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.933523183200973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31437019} λ = -0.31437019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933523183200973))-π/2
    2×atan(2.54345446646783)-π/2
    2×1.19619511476823-π/2
    2.39239022953645-1.57079632675     		φ = 0.82159390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31437019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.012085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82159390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.073863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58978 KachelY 46062 -0.31437019 0.82159390 -18.012085 47.073863
    Oben rechts KachelX + 1 58979 KachelY 46062 -0.31432225 0.82159390 -18.009338 47.073863
    Unten links KachelX 58978 KachelY + 1 46063 -0.31437019 0.82156125 -18.012085 47.071992
    Unten rechts KachelX + 1 58979 KachelY + 1 46063 -0.31432225 0.82156125 -18.009338 47.071992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82159390-0.82156125) × R
    3.26499999999674e-05 × 6371000     		dl = 208.013149999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82159390-0.82156125) × R
    3.26499999999674e-05 × 6371000     		dr = 208.013149999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31437019--0.31432225) × cos(0.82159390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681054967845878 × 6371000     		do = 208.011717534867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31437019--0.31432225) × cos(0.82156125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681078874867227 × 6371000     		du = 208.019019354554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82159390)-sin(0.82156125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681054967845878-0.681078874867227)×R²
    abs(-0.31432225--0.31437019)×2.39070213491344e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39070213491344e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39070213491344e-05×40589641000000     		ar = 43269.93204242m²