Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58978 / 30946
↖ ↑ ↗
← N 68.429494°
W 18.012085°		 ← 112.29 m → N 68.429494°
W 18.009338°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
N 68.428484°
W 18.012085°		 ← 112.29 m →
12 613 m²		 N 68.428484°
W 18.009338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449970245361328 y=0.236103057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449970245361328 × 217)
    floor (0.449970245361328 × 131072)
    floor (58978.5)     		tx = 58978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236103057861328 × 217)
    floor (0.236103057861328 × 131072)
    floor (30946.5)     		ty = 30946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58978 / 30946 ti = "17/58978/30946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58978/30946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58978 ÷ 217
    58978 ÷ 131072     		x = 0.449966430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30946 ÷ 217
    30946 ÷ 131072     		y = 0.236099243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449966430664062 × 2 - 1) × π
    -0.100067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31437019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236099243164062 × 2 - 1) × π
    0.527801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65813735785774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31437019} λ = -0.31437019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65813735785774))-π/2
    2×atan(5.24952374818741)-π/2
    2×1.38255814600631-π/2
    2.76511629201261-1.57079632675     		φ = 1.19431997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31437019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.012085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19431997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.429494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58978 KachelY 30946 -0.31437019 1.19431997 -18.012085 68.429494
    Oben rechts KachelX + 1 58979 KachelY 30946 -0.31432225 1.19431997 -18.009338 68.429494
    Unten links KachelX 58978 KachelY + 1 30947 -0.31437019 1.19430234 -18.012085 68.428484
    Unten rechts KachelX + 1 58979 KachelY + 1 30947 -0.31432225 1.19430234 -18.009338 68.428484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19431997-1.19430234) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dl = 112.320730000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19431997-1.19430234) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dr = 112.320730000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31437019--0.31432225) × cos(1.19431997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367645890668201 × 6371000     		do = 112.288518215221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31437019--0.31432225) × cos(1.19430234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367662285909161 × 6371000     		du = 112.293525743823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19431997)-sin(1.19430234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367645890668201-0.367662285909161)×R²
    abs(-0.31432225--0.31437019)×1.63952409597545e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63952409597545e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63952409597545e-05×40589641000000     		ar = 12612.6095615014m²