Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58977 / 30929
↖ ↑ ↗
← N 68.446653°
W 18.014831°		 ← 112.18 m → N 68.446653°
W 18.012085°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
N 68.445644°
W 18.014831°		 ← 112.19 m →
12 586 m²		 N 68.445644°
W 18.012085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449962615966797 y=0.235973358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449962615966797 × 217)
    floor (0.449962615966797 × 131072)
    floor (58977.5)     		tx = 58977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235973358154297 × 217)
    floor (0.235973358154297 × 131072)
    floor (30929.5)     		ty = 30929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58977 / 30929 ti = "17/58977/30929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58977/30929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58977 ÷ 217
    58977 ÷ 131072     		x = 0.449958801269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30929 ÷ 217
    30929 ÷ 131072     		y = 0.235969543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449958801269531 × 2 - 1) × π
    -0.100082397460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31441812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235969543457031 × 2 - 1) × π
    0.528060913085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.65895228515128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31441812} λ = -0.31441812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65895228515128))-π/2
    2×atan(5.25380347196291)-π/2
    2×1.38270789159136-π/2
    2.76541578318271-1.57079632675     		φ = 1.19461946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31441812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.014831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19461946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.446653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58977 KachelY 30929 -0.31441812 1.19461946 -18.014831 68.446653
    Oben rechts KachelX + 1 58978 KachelY 30929 -0.31437019 1.19461946 -18.012085 68.446653
    Unten links KachelX 58977 KachelY + 1 30930 -0.31441812 1.19460185 -18.014831 68.445644
    Unten rechts KachelX + 1 58978 KachelY + 1 30930 -0.31437019 1.19460185 -18.012085 68.445644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19461946-1.19460185) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19461946-1.19460185) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31441812--0.31437019) × cos(1.19461946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367367358709363 × 6371000     		do = 112.180042411298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31441812--0.31437019) × cos(1.19460185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367383737289415 × 6371000     		du = 112.185043807751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19461946)-sin(1.19460185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367367358709363-0.367383737289415)×R²
    abs(-0.31437019--0.31441812)×1.6378580052101e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6378580052101e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6378580052101e-05×40589641000000     		ar = 12586.1308360069m²