Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58976 / 45984
↖ ↑ ↗
← N 47.219568°
W 18.017578°		 ← 207.44 m → N 47.219568°
W 18.014831°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
N 47.217703°
W 18.017578°		 ← 207.45 m →
43 019 m²		 N 47.217703°
W 18.014831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449954986572266 y=0.350833892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449954986572266 × 217)
    floor (0.449954986572266 × 131072)
    floor (58976.5)     		tx = 58976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350833892822266 × 217)
    floor (0.350833892822266 × 131072)
    floor (45984.5)     		ty = 45984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58976 / 45984 ti = "17/58976/45984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58976/45984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58976 ÷ 217
    58976 ÷ 131072     		x = 0.449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45984 ÷ 217
    45984 ÷ 131072     		y = 0.350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.10009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31446606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350830078125 × 2 - 1) × π
    0.29833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.937262261371338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31446606} λ = -0.31446606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937262261371338))-π/2
    2×atan(2.55298244336528)-π/2
    2×1.19746663085317-π/2
    2.39493326170633-1.57079632675     		φ = 0.82413693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31446606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.017578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82413693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.219568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58976 KachelY 45984 -0.31446606 0.82413693 -18.017578 47.219568
    Oben rechts KachelX + 1 58977 KachelY 45984 -0.31441812 0.82413693 -18.014831 47.219568
    Unten links KachelX 58976 KachelY + 1 45985 -0.31446606 0.82410438 -18.017578 47.217703
    Unten rechts KachelX + 1 58977 KachelY + 1 45985 -0.31441812 0.82410438 -18.014831 47.217703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82413693-0.82410438) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82413693-0.82410438) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31446606--0.31441812) × cos(0.82413693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679190678974484 × 6371000     		do = 207.442315726748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31446606--0.31441812) × cos(0.82410438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679214569073435 × 6371000     		du = 207.449612377899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82413693)-sin(0.82410438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679190678974484-0.679214569073435)×R²
    abs(-0.31441812--0.31446606)×2.38900989508739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38900989508739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38900989508739e-05×40589641000000     		ar = 43019.3246175954m²