Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58975 / 45025
↖ ↑ ↗
← N 48.978414°
W 18.020325°		 ← 200.46 m → N 48.978414°
W 18.017578°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
N 48.976612°
W 18.020325°		 ← 200.47 m →
40 180 m²		 N 48.976612°
W 18.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449947357177734 y=0.343517303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449947357177734 × 217)
    floor (0.449947357177734 × 131072)
    floor (58975.5)     		tx = 58975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343517303466797 × 217)
    floor (0.343517303466797 × 131072)
    floor (45025.5)     		ty = 45025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58975 / 45025 ti = "17/58975/45025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58975/45025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58975 ÷ 217
    58975 ÷ 131072     		x = 0.449943542480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45025 ÷ 217
    45025 ÷ 131072     		y = 0.343513488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449943542480469 × 2 - 1) × π
    -0.100112915039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31451400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343513488769531 × 2 - 1) × π
    0.312973022460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.983233748106972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31451400} λ = -0.31451400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983233748106972))-π/2
    2×atan(2.67308636856517)-π/2
    2×1.21281545950898-π/2
    2.42563091901796-1.57079632675     		φ = 0.85483459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31451400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.020325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85483459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.978414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58975 KachelY 45025 -0.31451400 0.85483459 -18.020325 48.978414
    Oben rechts KachelX + 1 58976 KachelY 45025 -0.31446606 0.85483459 -18.017578 48.978414
    Unten links KachelX 58975 KachelY + 1 45026 -0.31451400 0.85480313 -18.020325 48.976612
    Unten rechts KachelX + 1 58976 KachelY + 1 45026 -0.31446606 0.85480313 -18.017578 48.976612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85483459-0.85480313) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dl = 200.431659999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85483459-0.85480313) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dr = 200.431659999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31451400--0.31446606) × cos(0.85483459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656343314336246 × 6371000     		do = 200.464142475301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31451400--0.31446606) × cos(0.85480313) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656367049397308 × 6371000     		du = 200.47139177389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85483459)-sin(0.85480313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656343314336246-0.656367049397308)×R²
    abs(-0.31446606--0.31451400)×2.37350610621245e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37350610621245e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37350610621245e-05×40589641000000     		ar = 40180.0873445361m²